行列と漸化式

行列の対角化を用いて次のように定められた数列｛an｝、｛bn｝の一般項を求めてください。

a1＝1、b1＝2　　　an＋1＝an＋4bn、bn＋1＝－2an＋7bn

P＝［1→1→1→2］、P⁻¹AP＝［5→0→0→3］、P⁻¹＝［2→－1→－1→1］まで求めましたが（間違ってたら訂正してください）、A＾ｎ－1＝P｛（P⁻¹AP）＾ｎ－1｝P＾⁻¹を求め、そこから一般項を求めると解答と違うものになってしまいました。解き方を教えてください。

【解答】
an＝（3・5＾ｎ－1）－2・3＾ｎ－1
bn＝（3・5＾ｎ－1）－3＾ｎ－1

行列は［左上→右上→左下→右下］で表しています。

質問者からの補足コメント

• 教科書ではλE－Aなのですが、A－λEと同じなのですか？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/07/07 23:52

• 3λ－Aを計算すると［2→－4→2→－4］になるのですが

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/07/08 11:03

• すみません、理解しました。
  これまでの補則は無視してください。
  ありがとうございました。

    補足日時：2020/07/08 11:07

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/07 23:08

A =

　　1　　4
　　-2　　7
を用いて、a[n], b[n] を
　v[n] = (a[n],b[n])^T,
　v[1] = (1,2)^T,
　v[n+1] = A v[n].
と表そうということですね？

P =
　　1　　1
　　1　　2
と置くと
(P^-1) A P =
　　5　　6
　　0　　3
になってしまいます。
固有ベクトルの計算を間違えたようです。
固有方程式 0 = det(A-λE) = λ^2 - 8λ + 15 より
λ = 5, 3 は合っています。
問題は、λ = 3 に対する固有ベクトルですね。

A-3E =
　　-2　　4
　　-2　　4
より、(A-3E)v = 0 となる v は v // (2,1)^T です。
P =
　　1　　2
　　1　　1
に修正すれば、
P^-1 =
　　-1　　2
　　1　　-1
(P^-1) A P =
　　5　　0
　　0　　3
になります。

これを使って
A^n = P (P^-1) A^n P (P^-1) = P { P (P^-1) A^n P }^n (P^-1)
を計算すれば、
A^n =
　　-5^n+2・3^n　　2・5^n - 2・3^n
　　-5^n+3^n　　　2・5^n-3^n
となります。 これと上記の v[1] により、
(a[n], b[n])^T = v[n] = A^(n-1) v[1] =
　　3・5^(n-1)-2・3^(n-1)
　　3・5^(n-1)-3^(n-1)
です。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/08 00:00

＞ 教科書ではλE－Aなのですが、A－λEと同じなのですか？

なぜそこ？
質問の内容は、λ = 3 に対する固有ベクトルの計算ミスだ
で終わってるはずだけど。

A が n 次行列のとき
det(A-λE) = det((-1)(λE-A)) = (-1)^n det(λE-A) だから、
det(A-λE) = 0 と det(λE-A) = 0 は同値な方程式です。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/07/07 22:33

行列を{左上, 右上, 左下, 右下}もしくは{上, 下}と表す。

係数行列をAとすると、
A={1, 4, -2, 7}

det(A-kE)=(1-k)(7-k)-8=0
k^2 - 8k + 7 - 8=0
k^2 - 8k + 15=0
(k-3)(k-5)=0
k=3, 5

k=3のとき：
{-2, 4, -2, 4}{x, y}={0, 0}より、固有ベクトルは{2, 1}

k=5のとき：
{-4, 4, 2, -2}{x, y}={0, 0}より、固有ベクトルは{1, 1}

固有ベクトルより、P={2, 1, 1, 1}となり、P^(-1)={1, -1, -1, 2}

よって、P^(-1)AP=({1, -1, -1, 2})({1, 4, -2, 7})({2, 1, 1, 1})={3, 0, 0, 5}

PA^nP^(-1)=({2, 1, 1, 1})({3^n, 0, 0, 5^n})({1, -1, -1, 2})={2(3^n) - 5^n, -2(3^n) + 2(5^n), 3^n - 5^n, -3^n + 2(5^n)}

{a[n], b[n]}=A^(n-1){a[1], b[1]}
={2(3^(n-1)) - 5^(n-1), -2(3^(n-1)) + 2(5^(n-1)), 3^(n-1) - 5^(n-1), -3^(n-1) + 2(5^(n-1))}{1, 2}

a[n]=2(3^(n-1)) - 5^(n-1) + 2(-2(3^(n-1)) + 2(5^(n-1)))
=2(3^(n-1)) - 5^(n-1) - 4(3^(n-1)) + 4(5^(n-1))
=3(5^(n-1)) - 2(3^(n-1))

b[n]=3^(n-1) - 5^(n-1) + 2(-3^(n-1)) + 4(5^(n-1))
=3^(n-1) - 5^(n-1) - 2(3^(n-1)) + 4(5^(n-1))
=3(5^(n-1)) - 3^(n-1)