帰納法による証明

問題：0≦a≦bならば、任意のn∈Ｎに対してa^n≦b^nであることを示せ。
［証］数学的帰納法より
［１］n=1のとき
（左辺）=a,（右辺）=b
条件よりa≦bとなり成立。
[２]n=kで成立すると仮定すると、a^k≦b^k
n=k+1のときb^k+1-a^k+1≧0を示す。
b^k+1-a^k+1=...ここからどうすればいいのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： noname#17487 回答日時： 2006/05/07 15:33

b^k≧a^k 　

0≦a≦bよりb^k・b≧a^k・b≧a^k・a
∴b^k・b-a^k・a≧0
∴b^(k+1)-a^(k+1)≧0
∴b^(k+1)≧a^(k+1)
この様にn=k+1の時も成り立つ。

以上を参考にして下さい。

No.3 回答者： yumisamisiidesu 回答日時： 2006/05/07 15:36

　b^(k+1)-a^(k+1)

= (b-a)(a^kb^0+a^(k-1)b^1+…+a^1b^(k-1)+a^0b^k)
が成り立つと思いますが確認してません

　一方 inductionを使いますが別の証明もあります.
a^k<b^kのとき
0<a<bよりa^(k+1)=a(a^k)<a(b^k)<b(b^k)=b^(k+1)

No.1 回答者： noname#21219 回答日時： 2006/05/07 15:30

仮定より、a^k≦b^kです

両辺にaをかけると
a^(k＋1)≦ab^k
ab^k=b^(k＋1)・a/bより
a^(k＋1)≦ab^k
はa^(k＋1)≦b^(k＋1)・a/bですが
書き換えると
b/a・a^(k＋1)≦b^(k＋1)となり
a^(k＋1)≦b/a・a^(k＋1)より
a^(k＋1)≦b^(k＋1)