https://okauth.questionbox.jp.msn.com/qa7837038. …
こちらで質問していた者ですが、質問を変更します。
√a×√b=√ab (a≧0,b≧0,a∈R,b∈R、その他の場合は一般に成立しない)です。
複素数を導入し、負の数の平方根を採用し、複素幾何について触れないものとして、
√a×√b=√ab がa<0,b<0,a∈R,b∈Rの時に成立「しない」ことを証明してください。
規約的回答は個人の好みにより求めません。
(例:√abは√a×√b (a≧0,b≧0,a∈R,b∈R)の数として定義され、それ以外では未定義であるから成立しない)
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
>√a×√b=√ab がa<0,b<0,a∈R,b∈Rの時に成立「しない」ことを証明してください。
前の回答で、ほぼやったはずですが。
a, bを任意の負の実数として、√a・√b=√abが常に成立すると仮定する。
a=b=-1を選ぶと、それは負の実数であるから、仮定を満たさなけれならない。
√-1×√-1=√(-1・-1)=√1=1は、仮定により成立する。
一方、√の性質より、負の実数での√aの存在を許すという仮定のもとでも、√a・√a=(√a)^2=aであるから、a=-1では、√-1・√-1=(√-1)^2=-1が成立する。
以上より、仮定を肯定すれば、1=-1が成立しなければならないが、実数の性質により、これは成り立たない。
よって、仮定「a, bを任意の負の実数として、√a・√b=√abが常に成立する」は、負の実数において反例が存在し、仮定は棄却される。
P.S.
-1を任意の負の実数aとする、さらにa, bを任意の負の実数とすれば、常に成り立たない証明もできるでしょうね。それはお任せします。
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