点と楕円の距離

平面上に原点Oを中心とする楕円C:x^2/a^2+y^2/b^2=1と、楕円の外部にある点A(α,β)が与えられているとき、CとAの距離はいくらになるか？という問題です。どう考えたってただの条件付極値問題で、簡単なはずだと思ったのですが、とんでもない方程式が出てきます。計算機にやらせてみても目がくらむような式になります。これってそんなに難しい問題なのでしょうか？何か簡単に解く方法はありませんか？

それから計算機にやらせてみた結果をみると平方根しか入っていません。ということは作図も可能に思いますが、簡便な作図法は知られているのでしょうか？

No.3 回答者： teuu 回答日時： 2006/06/01 01:30

高校数学の話だと思ったんですけど、違ったようですね。

確認してないですけど、
とりあえず私の意図としては
空間をy方向にα倍するのではなく、
楕円だけ変形するのです。
そうした場合Aの位置は変わりません。
Aの位置を変えてしまったら、当然距離も変わってきますし、接点もおかしくなります。
Aの位置を変えないことがミソだった気がします。

あくまでうろ覚えですが。

計算機にやらしてみたって、mathmaticaですか？
mathmaticaつかえば簡単に解けそうですけどね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。mathematicaにやらせました。実はこの種の問題はかなり古くから難しいという認識はあったようで、この問題は円と双曲線の交点を求める問題に帰着されるようです。一般に二次曲線と二次曲線の交点の方程式は4次方程式になるので、それで難しかったようです。当然高校生レベルではありません。さらに計算機の出力結果も尋常じゃない式です。なんせ6個の定数を含む4次方程式ですので。とはいえ解の公式が存在する以上、代数的な表記は可能だということのようです。ちなみにもっと簡単な例では、直角双曲線y=2/xと、放物線y=x^2の交点のx座標は2^{1/3}になります。x^3=2という方程式を得るからです。これは古代ギリシャの三大作図不可能問題の一つで、定規とコンパスだけではこのような位置を作図はできない、ということの簡単な例になっているようです。

お礼日時：2006/06/01 02:00

No.2 回答者： springside 回答日時： 2006/05/16 12:45

楕円上の点をP(p,q)として、その点での接線を求め、APとその接線が直交するという条件からpとqが求まります。

こんな感じです。

楕円上のP(p,q)での接線は、px/a^2+qy/b^2=1
↓
その接線の傾きは、-pb^2/qa^2q・・・※
↓
一方、APの傾きは(q-β)/(p-α)なので、※との積が-1
↓
その式と、p^2/a^2+q^2/b^2=1を連立して、p,qを求め、Aとの距離を公式で求める。

これでとんでもない方程式になったのであれば、別の方法として、こういうのはどうでしょう。

楕円上の点をP(acosθ,bsinθ)とおく。
すると、AP^2=(α-acosθ)^2+(β-bsinθ)^2なので、これをθの関数と見て、微分を使って最小値を求める。

この回答へのお礼

ありがとうございます。やはりAP^2[θ]とおいて、微分が消える点を計算すると目がくらみました。計算機でやらせたら、前と同じ式が出てきました。人間業では無理なんでしょうかね。

お礼日時：2006/05/16 13:04

No.1 回答者： teuu 回答日時： 2006/05/16 02:16

もうすっかり忘れてしまったんですけど、

おぼろげな記憶をたどるとですね、
楕円ってのは円のx方向にa分の1倍、
y方向にb分の1倍なわけで、
（でしたよね？）
たとえばa＝1と仮定すると、
y方向に伸び縮みする楕円になるわけです。

で、円のとき(b=1)の接点を考えて、
それのb分の1のところが接点になるはずです。
どうようにx方向も同じです。
と考えればできるんじゃなかったでしたっけ？

よくわかんない説明かもしれませんが、
どうにか読み解いてください。

この回答へのお礼

ありがとうございます。一方向だけ拡大縮小をするとメトリックが変わってしまって、直交条件が変わってしまいます。アイデアは拡大縮小して、楕円を円にしておいて、円の接点をまず求めて、それをまた縮小拡大で元に戻す、ってことですよね。そうすると最初の点からその接点に引いた線分は一般には接線と直交していなくて、法線にはなっていないので、最短距離を与える線分にはならないように思います。たとえばC:x^2/2^2+y^2=1、A(2,1)として、y方向に二倍に拡大すると、円x^2+y^2=4とA'(2,2)が出来るので、最短点は(√2,√2)で、接線はx+y-2√2=0となるかと思いますが、これをy軸方向に1/2に縮小すると、接線の式はx+2y-2√2=0になって、法線ベクトルは(1,2)ですが、A(2,1)だから法線方向とは一致していません。

お礼日時：2006/05/16 11:22