∫1/(x^3+1)dxの広義積分が収束することを示し値を求めてください。
解答の際にはなぜ収束するかも書いてくれるとありがたいです。御願いします

A 回答 (2件)

積分範囲を0から∞だということにします。



答えは
(2*Pi)/(3*Sqrt[3])
ただし Sqrtは√、Piはπ

計算の為のヒント

分母を
(1 + x)*(1 - x + x^2)
と因数分解できることに注意

収束性の判定
∫1/(x^3+1)dx1/(x^3+1)
は、0から1までは積分可能である。
1から∞までは
|1/(x^3+1)|<= 1/x^3
であり、1/x^3 が1から∞まで積分可能であることから、
1/(x^3+1)は広義積分可能です。
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え~と,積分範囲は?



それから,広義積分の問題を次々質問されていますが,
問題を全部質問しているときりがありません.
前の質問
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=215247
の hanger さんの回答など指針になるはずですが
(√の中が負になるところをちょっとうっかりされたようですけれど),
試して見られたのでしょうか.
回答に対するレスポンスがないと,読まれているのかどうか回答者にはわかりません.
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Q「A地点とB地点にいる二人が同時に出発して接近した」この問題の解き方を教えてください

「A地点とB地点にいる二人が同時に出発して接近した」この問題の解き方を教えてください

問題
A地点にいるA君と、B地点にいるB君が同時に出発して接近した。
A君は時速4キロ、B君は時速8キロで移動した
A地点とB地点は10キロ離れている
さて二人が接触する地点の位置はどこで、出発時刻から何分後か?
道中は平坦な直線であり途中に坂や障害などはないとする

さてこの問題の解き方を教えてください

小学校算数での解き方、
中学校数学での解き方、
高校数学での解き方、
それぞれ教えてください

Aベストアンサー

A君は時速4キロ、B君は時速8キロで近づいているので、
合わせて時速12キロで近付いています。
2人が接触するのは10/12=50/60時間=50分です。

t分後に接触したとして、
A君は時速4キロで、4*t/60キロ移動しています。
B君は時速8キロで、8*t/60キロ移動しています。
二人は合計で10キロ移動したので、
4*t/60+8*t/60=10
12t=600
t=50分後です。

A君は時速4キロでxキロ、
B君は時速8キロでyキロ、
走った時に接触したとして、
x+y=10
x/4=y/8
なので、
x=2y
3y=10
y=10/3
10/3÷4=10/12時間=50分後です。

Q∫xe^xsin(x)dx=x(∫xe^xsin(x)dx)-∫1(∫

∫xe^xsin(x)dx=x(∫xe^xsin(x)dx)-∫1(∫xe^xsin(x)dx)dx

この式変形がわからないのですが。ご教授ください。

Aベストアンサー

>もともとは「∫xe^xsin(x)dxの不定積分を求めよ」という問題で

部分積分法の応用です。

(xe^xsin(x))’=e^xsin(x)+xe^xsin(x)+xe^xcos(x)
より、
xe^xsin(x)=∫e^xsin(x)dx+∫xe^xsin(x)dx+∫xe^xcos(x)dx
同様に、
xe^xcos(x)=∫e^xcos(x)dx+∫xe^xcos(x)dx-∫xe^xsin(x)dx

2式の差をとると、
xe^xsin(x)-xe^xcos(x)=∫e^xsin(x)dx-∫e^xcos(x)dx+2∫xe^xsin(x)dx
より、
∫xe^xsin(x)dx=(xe^xsin(x)-xe^xcos(x)+∫e^xcos(x)dx-∫e^xsin(x)dx)/2

あとは、∫e^xcos(x)dx-∫e^xsin(x)dxが分かればいいですね。

上記と同じ方法で、
(e^xcos(x))’=e^xcos(x)-e^xsin(x)
より、
e^xcos(x)=∫e^xcos(x)dx-∫e^xsin(x)dx
なので、
∫xe^xsin(x)dx=(xe^xsin(x)-xe^xcos(x)+e^xcos(x))/2

(積分定数は省略しています)

>もともとは「∫xe^xsin(x)dxの不定積分を求めよ」という問題で

部分積分法の応用です。

(xe^xsin(x))’=e^xsin(x)+xe^xsin(x)+xe^xcos(x)
より、
xe^xsin(x)=∫e^xsin(x)dx+∫xe^xsin(x)dx+∫xe^xcos(x)dx
同様に、
xe^xcos(x)=∫e^xcos(x)dx+∫xe^xcos(x)dx-∫xe^xsin(x)dx

2式の差をとると、
xe^xsin(x)-xe^xcos(x)=∫e^xsin(x)dx-∫e^xcos(x)dx+2∫xe^xsin(x)dx
より、
∫xe^xsin(x)dx=(xe^xsin(x)-xe^xcos(x)+∫e^xcos(x)dx-∫e^xsin(x)dx)/2

あとは、∫e^xcos(x)dx-∫e^xsin(x)dxが分かればいいですね。

上記と同じ方...続きを読む

Q問題の解き方をHPにのせるときの著作権について

はじめまして。
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著作権の侵害になるのでしょうか?

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> 「~~という本のP32の問1の解き方」とか書いたら侵害になるのでしょうか?

もし、このURLに書いてみる内容と合致すれば、
問題ないのかも。
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http://www.cric.or.jp/

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僕の予想ではλ=0.5となると思うんですがロピタルを使っても有界になりません。

なおこの広義積分は必ず収束します。

誰か教えてください。

おねがいします。

Aベストアンサー

f(x)=(logx)/(1+x^2)
y=logx
x=e^y
dy/dx=1/x=1/e^y
g(y)=y/(e^{-y}+e^y)
∫f(x)dx=∫g(y)dy
a_n=∫[1~n]f(x)dx
∀ε>0に対して、
∃n0>e^{4/ε}
m>n>n0
n<x<m
S=logn<y<R=logm
|a_m-a_n|
=|∫[n~m]f(x)dx|
=|∫[S~R]g(y)dy|≦|∫[S~R](y/e^y)dy|=|(1+S)/e^S-(1+R)/e^R|≦4/S<ε

∫[1~∞]f(x)dxは収束する

∀ε>0に対して、
∃K>0(L>K→|∫[1~L]f(x)dx-∫[1~∞]f(x)dx|<ε)
0<δ<1/K
y=1/x
x=1/y
dy/dx=-1/x^2=-y^2
0<δ<x<1
1<y<1/δ

∫[δ~1]f(x)dx=-∫[1~1/δ]f(y)dy

|∫[δ~1]f(x)dx+∫[1~∞]f(x)dx|
=|-∫[1~1/δ]f(y)dy+∫[1~∞]f(x)dx|<ε

lim_{c→+0}∫[c~1]f(x)dx=-∫[1~∞]f(x)dx

∫[+0~∞]f(x)dx=0

f(x)=(logx)/(1+x^2)
y=logx
x=e^y
dy/dx=1/x=1/e^y
g(y)=y/(e^{-y}+e^y)
∫f(x)dx=∫g(y)dy
a_n=∫[1~n]f(x)dx
∀ε>0に対して、
∃n0>e^{4/ε}
m>n>n0
n<x<m
S=logn<y<R=logm
|a_m-a_n|
=|∫[n~m]f(x)dx|
=|∫[S~R]g(y)dy|≦|∫[S~R](y/e^y)dy|=|(1+S)/e^S-(1+R)/e^R|≦4/S<ε

∫[1~∞]f(x)dxは収束する

∀ε>0に対して、
∃K>0(L>K→|∫[1~L]f(x)dx-∫[1~∞]f(x)dx|<ε)
0<δ<1/K
y=1/x
x=1/y
dy/dx=-1/x^2=-y^2
0<δ<x<1
1<y<1/δ

∫[δ~1]f(x)dx=-∫[1~1/δ]f(y)dy

|∫[δ~1]f(x)dx+∫[1~∞]f(x)dx|
=|-∫[1~1/δ]f(y)dy+∫[1...続きを読む

Q指数関数の解き方

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  a3x-a-x
-----  この解き方が解らないので
   ax+a-x
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Aベストアンサー

分子と分母に a^x をかけましょう。

分子は a^{4x}-1 = (a^{2x})^2-1 = 3^2 - 1
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Q積分です!∫(2x^2e^-x^2)dx

∫(2x^2e^-x^2)dxの積分が分かりません。
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Aベストアンサー

#2のものです。
>最初のxが三乗でした!
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これなら簡単。不定積分も計算可能。
t=x^2として置換積分しましょう。
dt=2xdx
であるため
∫x^3*e^(-x^2)dx=∫(1/2)x^2*e^(-x^2)*2xdx=∫(1/2)t*e^(-t)dt
となります。これは部分積分できると思います。
最後にt=x^2でおきかえることをお忘れなく。

Q因数分解の解き方について

因数分解の解き方について
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たすき掛けをつかわない
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分数などにはせず、
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思い出せず、モヤモヤしています。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>>>たしか、海外の学生の解き方で、まず数字をかけるやり方だったと思います。

ありましたね。

>>>思い出せず、モヤモヤしています。

私もサイトをお気に入りに入れていなかったので、もやもやしています。^^

たぶん、x^2 につく係数を整数の2乗にするんじゃなかったかと思います。

これでうまくいっているのかわかりませんが、3をかけて
9x^2 - 3×7x + 6 = (3x+a)(3x+b)
 = 9x^2 + 3(a+b)x + ab
としてみると、
a+b = -7
ab = 6
なので、
a=-1、b=-6

わりと楽に行きました。
最後の仕上げに、3で割って元に戻しましょう。

ただし、これが思い出せないやり方と同じなのかわかりませんが・・・

Q積分 ∫[(x^2-1)/{x(x^2+1)}]dx の積分の仕方をご

積分 ∫[(x^2-1)/{x(x^2+1)}]dx の積分の仕方をご教授ください。
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Aベストアンサー

∫{ 1/(x^2+1) }dx = arctan(x) は使わない。
これは、素直に部分分数分解で求めるべき積分である。

積分すると、
∫[ (x^2-1)/{x(x^2+1)} ]dx
= ∫[ 2x/(x^2+1) - 1/x ]dx
= ln(x^2+1) - ln|x| + C
(C は積分定数)となる。

Q不等式の解き方教えてください!

不等式の解き方教えてください!
(100+z)-(100+z)×0.2≧100
↑↑の解き方を教えてください!

Aベストアンサー

(100+z)-(100+z)×0.2≧100

わかりやすく、ばらばらにしましょう。

100+Z-0.2×100-0.2×z≧100

つぎにまとめましょう。

(1-0.2)×z+(1-0.2)×100 ≧100

けいさんをすすめましょう

0.8×z+0.8×100≧100

さらにすすめましょう

0.8×z+80≧100

つぎに、りょうほうのしきから80をひいてみましょう

0.8×z+80-80 ≧100-80

ぱずるといっしょですね。

0.8×z ≧20

こんどはりょうほうのしきを0.8でわってみましょう

0.8÷0.8×z ≧20÷0.8

z≧20÷0.8=200÷8=100÷4=50÷2=25

だから・・・

z≧25

となりますね

Q∫(x^3+x^2-4x)/(x^2-4)dxの積分が解けません。

∫(x^3+x^2-4x)/(x^2-4)dxの積分が解けません。

一見簡単に見えたのですが、私には難しかったようです。

∫(x^3+x^2-4x)/{(x+2)(x-2)}dxから
x^3+x^2-4xの因数分解を考えたのですが、
x(x^2+x-4)として、x^2+x-4を考えると、単純に因数分解できそうにありません。

強引に(Ax^2+Bx)/(x+2)+(Cx^2+Dx)/(x+2)
と部分分数分解もしましたが、行き詰りました。

お知恵を拝借願います。

Aベストアンサー

もう一歩です。
何とか (Ax^2+Bx)/(x+2)+(Cx^2+Dx)/(x+2) と分解できたのなら、
(Ax^2+Bx)÷(x+2) と (Cx^2+Dx)÷(x+2) の余り付き除算を行って、
仮分数を帯分数になおせば、部分分数分解が完成します。

x -1 -1/(x+2) +1/(x-2) の積分は、
∫(1/x)dx を知っていれば、できますね。


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