Microsoft Excel に、時系列のデータが入っています。
2次微分までのデータが欲しいのですが、ノイズが多く、
きれいな曲線になりませんでした。

このような事情で、Savitzky Golayの方法(名前は知っていた)で
データのスムージングを行おうとしていたところ、あるサイトで、
{0, 0.0323313, 0.00850822, -0.00829007,..., 0.0859867,...,0.0323313}
というような数列のようなものを見つけました。
これを係数に41項からなる和算を行ったところ、全く何も根拠のないまま、
一見したところ目的を達しているかのような曲線が得られました。
これ、全くのデタラメでもないのでしょうか? それに、もう少し項目を
減らしたり増やしたりするには、どんな係数を使えばいいのでしょうか。
そもそも、適切な係数を知るにはどこを調べればいいのでしょうか。

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A 回答 (1件)

【原典】


Savitzky-Golay法は次の文献で発表されています。
A.Savitzky,M.J.E.Golay"Smoothing and Differention of Data bye Simplified Least Squares Procedures,"Analytical Chemistry,vol.36,no.8,pp1627-1639,1964
【方法の主眼】
 等間隔で得られた観測値から雑音を除去するために最小2乗法
を用いて多項式に当てはめる。
観測点が"等間隔"言うのがミソです。
たとえば多項式を2次式として、平滑化の対象を奇数点の(-2,-1,0,2,1)
という点を選んでスケール変換して計算すると、重み係数(-3,12,17,12,-3)、
正規化定数35が得られます。
【得られる情報源】
 科学計測のための波形データ処理 南茂夫 CQ出版社
1986年 初版 ¥1960
この本には、具体的なデータ処理が例示されています。
問われている係数の算出方法についても式が提示されています。
原典よりも新しいですが、まだ出版されているのかな?
【展望】
 観測値から雑音を除去すると言うテーマは多くの分野で
あつかわれているようです。
Savitzky-Golay法は、クラシックな部類に属する手法かと思います。
しかし、科学計測の分野では根強く活躍しているようです。
数値フィルタまたはディジタルフィルタという観点から見ると、スペクトル
というものの見方が欠けているのかなと思われます。
最新号のC-MAGAZINEの特集またはその参考文献がきっと
役にたつと思います。
【最後に】
 ご質問のテーマは、きっと物理または化学が適切では
なかったかな、と思います。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

741さん

『科学計測のための波形データ処理』はオンラインでも入手可能の
ようですので、さっそく購入することにしました。
初めは係数の算出方法を知るだけが目的でしたが、
面白そうな分野を知るいいきっかけになりました。

あまり深く理解すると、他のもっと適切な方法が見えてきて
大変になるのかも知れませんが、少しでも理解して使えるように
がんばってみます。

おっしゃるとおり、質問のカテゴリーをもう少し考えるべきでした。
が、それでも論文と書籍の情報を教えていただけたことは、幸運でした。
貴重なお答え、ありがとうございました。

お礼日時:2002/02/20 03:00

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Q漢字検定 勉強法

漢字検定の勉強法についてですが・・・
おすすめの参考書って 
あるでしょうか?
それとも、
地道に、日本漢字能力検定の
”漢字学習ステップ”を
使うほうが良いでしょうか?
誰か教えてください!!!

Aベストアンサー

私は2級受験の際、日本漢字能力検定の黄色い本
「漢字学習ステップ」を使いました。
私は時間がなかったのでその本しか出来なかったのですが、
確か190点以上取れました。
点数を取ることを目標とするのなら、あの本だけでも充分だと思いますよ。
ちなみに「漢字学習ステップ」は頑張れば2日間で全て終わるくらいの量でしたので、
時間があれば他の本も試してみれば良いと思います。
きっとあなたの力になるはずです。

検定頑張ってくださいね。応援してます。

Q2,7,1,4,7,2,8,1,4,1,6,..

初項を2、第2項を7とします
すべての項は一桁とします。
隣り合う項をかけてその結果を数列の最後につけていくとします
(説明が下手でごめんなさい。。。)
つまり
2,7,1,4,7,2,8,1,4,1,6,...
といった具合です。
これが6を無限個含むことを示せという問題なんですが、見当がまったくつかず。。。
ちょっと思いついたのは偶数をかけるとどんな数字でも一桁目は偶数になるので、偶数は無限個あるというのだけで、、、
規則性が見えるかなとおもっていろいろ書き出したのですが、何もわからず。。。

ヒントでもいいのでお願いします

Aベストアンサー

> 隣り合う項をかけてその結果を数列の最後につけていくとします
> 2,7,1,4,7,2,8,1,4,1,6,...

> といった具合です。

どういう規則なのか、さっぱり分からんですね。もしかして、この例が間違っているんじゃないでしょうか?

 仮に、この例が間違いだとして、「隣り合う項をかけてその結果を数列の最後につけていく」をやってみると
27
2.714
27.147
271.474
2714.7428
27147.42828
271474.28288
2714742.828816
27147428.2881616
が正しいのだとしましょう。("."は掛け算をやった位置を表しています)

 さて、「数列には6が高々有限個しか現れない」と仮定すると、数列のある場所N項目から以降には6が一つもないような、そういうNが存在しなくてはならない。

 一方、数列中にひとたび(1616)が現れると、それより後ろに(666)が出て来る。
 (666)が現れると、それより後ろに(363636)が出て来る。
 (363636) が現れると、それより後ろに (1818181818) が現れ、さらにその後ろに (888888888) が現れ、さらにその後ろに(6464…6464) が出て来る。
 (6464…6464) が現れると、それより後ろに (2424…24) が現れ、さらにその後ろに (88…8) が現れ、さらにその後ろに (6464…6464) が出て来る。
 (6464…6464) が現れると、それより後ろに (2424…24) が現れ、さらにその後ろに (88…8) が現れ、さらにその後ろに (6464…6464) が出て来る。
  :
 ループです。つまり、どこまで行っても、それより後ろに(6464…6464)という部分が必ず存在する。

 だから、「数列のある場所N項目から以降には6が一つもないような、そういうN」は存在しない。
 

> 隣り合う項をかけてその結果を数列の最後につけていくとします
> 2,7,1,4,7,2,8,1,4,1,6,...

> といった具合です。

どういう規則なのか、さっぱり分からんですね。もしかして、この例が間違っているんじゃないでしょうか?

 仮に、この例が間違いだとして、「隣り合う項をかけてその結果を数列の最後につけていく」をやってみると
27
2.714
27.147
271.474
2714.7428
27147.42828
271474.28288
2714742.828816
27147428.2881616
が正しいのだとしましょう。("."は掛け算をやった位置を表しています)

 さ...続きを読む

Q漢字の勉強法 学習法

僕は高校一年生なのでですが、漢字が出来ません。
まぁ漢字の勉強というものをここ数年やってないので出来ないで当たり前なのですが・・・

で最近「漢字が出来ないとやっぱりかっこ悪いな」と思っって漢字勉強してみようと思ったのですが、何をやっていいのか解らないし、やるからには効率の良い勉強をしたいなと思い質問しました。

なので漢字の学習法や良い参考書などあれば教えてください。
お願いします。

Aベストアンサー

参考書は、漢検協会発行のものが最適だと思います。

まず、自分に合う級の参考書を購入しましょう。
その級の基準漢字が掲載されてますから、とにかくその漢字を何度も何度も繰り返し「書くこと」です。
「書くこと」以外に早く覚える方法はありません。

だれにでも、ふだん結構いい加減に不正確な漢字を使っていることがありますから、正確に書いて覚えることです。
「くっつける・はなす」、「はねる・はねない」、「点がある・ない」など注意しましょう。

そのとき並行して、その漢字の意味・音訓別の読み方・送りかななどを覚えるようにすれば、だんだん漢字への興味がわき、漢字の勉強が面白くなってくるはずですが~~

ともあれ、頑張ってください。

下記URLは漢検協会の公式サイトです。

参考URL:http://www.kanken.or.jp/

Q何で数学I,II,III,IV,V,VIとか数学A,B,C,D,E,FじゃなくてI,II,IIIとA,B,Cなの

高校の数学についてのかなり阿呆な疑問なのですがなぜ数学I,II,III,IV,V,VIとか数学A,B,C,D,E,Fとかに統一しないで数学I数学A数学II学B数学III数学Cという風に区別されているのですか。
ところで自分はそんなに頭が良くないので優秀な回答を頂いても全く理解できない事も予想されます。
そういう場合は笑って許してください(汗)。

Aベストアンサー

>まーたぶん大した意味はないと思いますよ
ところが大ありなんですね。
既出の回答とも少し重なりますが,補足を兼ねてお答えしましょう。

現在の指導要領には次のような規定があります(来年の高校1年生から少し変わります)。
(1)「数学II」、「数学III」を履修させる場合は、「数学I」、「数学II」、「数学III」の順に履修させること。
(2)「数学A」については「数学I」と並行あるいは「数学I」に続いて履修させ、「数学B」及び「数学C」については「数学I」を履修した後に履修させること。
文部(科学)省は,「高校で数学を学ぶうえで中心(コア)となるもの」を易しいほうからI→II→IIIと配置し,それ以外をいわばオプションとしてA~Cとしたように思われます。

さらに,I~IIIとA~Cには非常に大きな違いがあります。

たとえば数学Iの内容は,もし学ぶのであればその内容(二次関数・三角比・場合の数・確率)を全部学ばないと,単位がとれません。数学II,数学IIIも同様です。
これに対して,数学Aは,数と式・平面幾何・数列・コンピュータの四単元からなっていますが,指導要領では「履修する生徒の実態に応じて、内容の(1)から(4)までの中から適宜選択させるものとする。」となっており,学校によって扱いはまちまちです。
コンピュータ(BASICのプログラミング)を省いている学校も結構ありますし,また参考書でも飛ばされていたりします。
(ところが入試だとプログラミングがある意味では一番易しいので,それを狙っていこう!という参考書もあったりします)
BやCも同様で,学校により扱いが異なります。

以上より,次のようなことが言えます。
たとえば,ある生徒が「学校で数学IIを習った」といっていれば,数学Iと数学IIの内容は全て授業でやっているはずです。
ところが,「数学Aを習った」というだけでは,実際に何を習っているかは分かりません。
このため,大学入試でも,数学A・B・Cはたいてい,それぞれの単元に対応する問題を並べておいてそのなかから選んで答えさせるようになっています。

No.2のカリキュラムは,1981年度に高校に入学した人までが学んだものです。
当時は,いわゆる受験校(進学校)の場合,おおまかにみて,
入試で数学を使わない人:「数学I→数学IIA」
数学を使う文系の人:「数学I→数学IIB」
理系の人:「数学I→数学IIB→数学III」
というパターンでカリキュラムを組んでいる学校が多かったように思います。
翌年登場したのが,「数学I」「基礎解析」「代数幾何」「確率統計」「微分積分」という科目分けで学んでいます。
その次(92年度入学者以降)に登場したのが現行のI~III,A~Cです。

>まーたぶん大した意味はないと思いますよ
ところが大ありなんですね。
既出の回答とも少し重なりますが,補足を兼ねてお答えしましょう。

現在の指導要領には次のような規定があります(来年の高校1年生から少し変わります)。
(1)「数学II」、「数学III」を履修させる場合は、「数学I」、「数学II」、「数学III」の順に履修させること。
(2)「数学A」については「数学I」と並行あるいは「数学I」に続いて履修させ、「数学B」及び「数学C」については「数学I」を履修した後に履修させること。
文部(科学...続きを読む

Q漢字検定のおすすめ勉強法

最近PCばかりで文章を書き、手書きするとき漢字を忘れてきていることを
感じるので常用漢字を中心に一通り復習しようと思っています。

どうせ勉強するなら、モチベーションにもなるのでついでに漢字検定2級の
勉強をしてとりたいと考えています。

お勧めの勉強法や、テキスト、問題集などがありましたら教えていただけますでしょうか?

Aベストアンサー

僕は漢検3級まで持っていますが、ひたすら過去問の問題集を買って、合格点に達するまで、何回も同じ問題を解くことです。それから四字熟語の意味を答える問題や、四字熟語の穴埋め問題もあるので、四字熟語をしっかり勉強すると良いと思います。

Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.

Q漢字検定準1級の勉強法・おすすめ問題集

先日、テレビを見てたら芸能人が漢字検定に挑戦していました。見ててそこそこ問題がわかったので漢字検定準1級を受けてみようと思ったのですが、おすすめの勉強法や問題集がありましたら教えてください。

Aベストアンサー

漢検準1級は、思うほど甘い検定では無いです。確かに「読み」はあ
る程度読めますが、「書く」のと「四字熟語」がかなり難しいので、
もし真剣にやるのであれば公式本の「完全征服」を殆ど覚えこむ位に
は最低しなくてはダメです。その上で、高橋書店の「頻出度別」や各
社の「出る順」問題集をやると、目に見える効果が出ると思います。

Q関数f(x1,x2,x3,x4,x5)が最大値となるようなx1,x2,x3,x4,x5の求め方

変数を5つもつ関数f(x1,x2,x3,x4,x5)があります。
関数f(x1,x2,x3,x4,x5)は、一言では言い表せないような複雑な式とします。

y=f(x1,x2,x3,x4,x5)としたとき、
yが最大になるようなx1,x2,x3,x4,x5はどのようにして求めればよいでしょうか?

例えば、、、

(1) x2,x3,x4,x5を適当な値に固定し、x1を変化させてyが最大となるようなx1を求める。(このときのx1をaとする)

(2) x1をaに、x3,x4,x5を適当な値に固定し、x2を変化させてyが最大となるようなx2を求める。(このときのx2をbとする)

(3) x1をaに、x2をbに、x4,x5を適当な値に固定し、x3を変化させてyが最大となるようなx3を求める。(このときのx3をcとする)

(4) x1をaに、x2をbに、x3をcに、x5を適当な値に固定し、x4を変化させてyが最大となるようなx4を求める。(このときのx4をdとする)

(5) x1をaに、x2をbに、x3をcに、x4をdに固定し、x5を変化させてyが最大となるようなx5を求める。(このときのx5をeとする)

このとき、f(a,b,c,d,e)は最大値??
多分、違いますよね。

変数を5つもつ関数f(x1,x2,x3,x4,x5)があります。
関数f(x1,x2,x3,x4,x5)は、一言では言い表せないような複雑な式とします。

y=f(x1,x2,x3,x4,x5)としたとき、
yが最大になるようなx1,x2,x3,x4,x5はどのようにして求めればよいでしょうか?

例えば、、、

(1) x2,x3,x4,x5を適当な値に固定し、x1を変化させてyが最大となるようなx1を求める。(このときのx1をaとする)

(2) x1をaに、x3,x4,x5を適当な値に固定し、x2を変化させてyが最大となるようなx2を求める。(このときのx2をbとする)

(3) x1...続きを読む

Aベストアンサー

まず最初に、この「一言では言い表せないような複雑な」関数が「連続」である必要があります。不連続の場合は初期値(「x2,x3,x4,x5を適当な値に固定し」に相当)から最大値に至る探索の道筋の手がかりがなにも無い事になってしまいますから。

次に、この方法で最大値が求まるためは、2次元で考えたとして山の頂上(y の最大値に相当)がパラメータx1,x2,x3,x4,x5の値域内でひとつだけである必要があります。山で例えると富士山(頂上の火口付近のくぼみは無視して)のような山です。そうでない場合、つまり、例えば八ヶ岳のように複数の頂上があった場合、見つかった値は最大値とは限りません。つまり八ヶ岳のひとつの頂上が見つかっただかで、これが八ヶ岳で一番高い頂上かどうかは分からないということです。こうして見つかった y の値を「局所最大値」と呼びます。確実に(局所でない大局的な)最大値を見つける方法は見つかっていません。

質問者さんの方法でも(局所)最大値は見つかりますが、多くの場合、x1~x5 をそれぞれ少しだけ値を振って(Δx)、その時の y の変化が大きい方に、より動いていく、というやり方をします。例えて言えば、山登りで霧がたち込めていて頂上が見えない場合、足下の周辺の地面だけを見て、最も傾斜が急な方向に次の一歩を踏み出す(次の x1~x5 を決める)わけです。この方法は No.1 さんのおっしゃるように「山登り法」と呼ばれており、質問者さんの方法より速く(少ない歩数で)(局所)最大値に達することができます。

歩幅の大きさにも注意が必要です。頂上や山の大きさに関係するのですが、多くの場合「一言では言い表せないような複雑な」訳で、山の大きさすら分かりません。一歩の大きさを大きくすればそれだけ速く頂上に到達できますが、頂上の正確な位置がでませんし、山よりも大きな歩幅ですと山を飛び越えてしまいますので、「十分に」小さな値にします。計算を速くするために、最初の歩幅は大きく、段々歩幅を小さくするというやり方もあります。

より詳しくは「山登り法」で検索されるといろいろと見つかると思います。

まず最初に、この「一言では言い表せないような複雑な」関数が「連続」である必要があります。不連続の場合は初期値(「x2,x3,x4,x5を適当な値に固定し」に相当)から最大値に至る探索の道筋の手がかりがなにも無い事になってしまいますから。

次に、この方法で最大値が求まるためは、2次元で考えたとして山の頂上(y の最大値に相当)がパラメータx1,x2,x3,x4,x5の値域内でひとつだけである必要があります。山で例えると富士山(頂上の火口付近のくぼみは無視して)のような山です。そうでない場合、つまり、...続きを読む

Q小3の漢字テスト不合格の勉強法

初めて利用します。

小学3年生の娘が、2学期末の漢字のまとめテストで不合格となり、
(50問ずつ5回の問題に90点以上を3回とったら合格)
北海道なので20日以上ある冬休み中、
毎日漢字ドリルのページ一枚にのっている10個の漢字を
ノートに書き写す宿題がだされました。
ドリルには
「漢字」
「音・訓」
「画数」
「部首」
「熟語」3~4種類
が載っていますが、
「熟語を3回ずつ書く」という指示以外
細かくどのようにやるか・・・という説明がなかったのか
娘は部首は書かずにドリルの形式を写し、熟語4種類を4回ずつ書いていました。
(自分なりに頑張ろうと量を増やしたようです)

それでは、大事な部分が抜けていると思い、

部首を明記
熟語の読みも書く
練習の回数は3回に減らす

と、量を減らして質をあげる工夫をアドバイスしました。


毎日一生懸命取り組んでいますが、所要時間は50分はかかり
全員にだされているプリント学習に手が回りません。

娘は、冬場のスポーツをやっているので休み中も毎日朝から夕方まで
練習に励んでおり、お正月明けからは大会もあり、
冬休みだからといって家でゴロゴロしている生活ではありません。
本人はその為に冬に備えて過ごしてきているので、
練習や大会を減らす事はできません。

それだけに、限られた時間で冬休み中は2月に受ける漢字検定の勉強や
通信教材のおくれ分をやる事にあてようと思っていましたが、
この漢字の宿題に時間と労力をとられてしまっています。

担任の先生は男性の新卒教員で、1学期の漢字テストの際も
間違えた漢字1文字をノート片面にびっしり書く
という課題をだし、親も子も大変な目にあっていました。

その時は、娘は2文字だけの間違えだったためになんとかやれましたが、
あまりのやり方に保護者からも意見がでたのですが・・・・。

漢字が苦手な娘と一緒に2学期頑張ってやってきたのですが、
なぜか最後のテストで失敗してしまい今回の結果となりました。

せっかく漢字が好きになってきて、イヤイヤだった漢字検定にも
意欲的に取りくみ始めた矢先の不毛に思える宿題の質と量に、
親として疑問を感じています。

私は漢字は部首と書き順をしっかり理解した上で、
読みと色々な熟語を知る事で、日常で使っていけると考えています。

先生のこの宿題の出し方は
我が子だけでなく、漢字が苦手な子が更に嫌いになるだけのような気がして
このやり方がとても心配です。
親がサポートできない(しない)家庭の子は、単なる罰ゲームになっているのではないかと。

今後の勉強法を工夫するためにも、
漢字が苦手な子への補習の勉強法を教えていただければと思います。

よろしくお願いします。

初めて利用します。

小学3年生の娘が、2学期末の漢字のまとめテストで不合格となり、
(50問ずつ5回の問題に90点以上を3回とったら合格)
北海道なので20日以上ある冬休み中、
毎日漢字ドリルのページ一枚にのっている10個の漢字を
ノートに書き写す宿題がだされました。
ドリルには
「漢字」
「音・訓」
「画数」
「部首」
「熟語」3~4種類
が載っていますが、
「熟語を3回ずつ書く」という指示以外
細かくどのようにやるか・・・という説明がなかったのか
娘は部首は書かずにドリルの形式を写...続きを読む

Aベストアンサー

NO2です。
ご丁寧なお礼の文を有難うございます。
宿題はおそらく、下記の様な図ではないかと思いますが、宜しいでしょうか?

熟語と合わせて覚えるというのは少し大変かもしれませんね。熟語は複数の文字の意味を理解できて初めて成り立つものなので(例外も多数ありますが)、1つ1つの文字の意味の理解が重要になります。
個人的には1文字ずつ取り上げていった方が良い気もしますが。

3回×4種類の熟語を書くという事ですね。メインの漢字は12回書く事になりますが、熟語として捉えると3回だけですから、反復回数としてはあまり多い方では無い様に思えます。故に理解・記憶させるには、かなり丁寧な説明が必要になりそうです。

時間は掛かると思いますが、その文字1つ1つの意味を理解しながら進めた方がいいんでしょうね。
でないと、ただの作業になり兼ねないので、宿題をする本人も苦痛しか感じないかもしれません。
今回の漢字に限らず、勉強が楽しいものと感じるようになれば、学習意欲が大きくなるので、お子さんの様子を見て、好みそうな学習プランを立ててあげるといいでしょう。

NO3の方の回答の様に遊びの要素があった方がいいかもしれません。
(具体的には雑誌で見かける漢字クロスワードパズルの様なもの)

まとめますと
・宿題は現状のまま進めていく。
・宿題とは別に勉強をして漢字の理解力を深める。
・本人が苦痛に思わないように、遊び(ご褒美)などの要素を加えた勉強法をする。

あまり具体的ではないですが、参考程度に読み流してください。

NO2です。
ご丁寧なお礼の文を有難うございます。
宿題はおそらく、下記の様な図ではないかと思いますが、宜しいでしょうか?

熟語と合わせて覚えるというのは少し大変かもしれませんね。熟語は複数の文字の意味を理解できて初めて成り立つものなので(例外も多数ありますが)、1つ1つの文字の意味の理解が重要になります。
個人的には1文字ずつ取り上げていった方が良い気もしますが。

3回×4種類の熟語を書くという事ですね。メインの漢字は12回書く事になりますが、熟語として捉えると3回だけですから、反...続きを読む

QΣ[n=1..∞]a_nφ_n(x)が関数f(x)に[a,b]で一様収束する時,各n∈Nに対してa_nはfのフーリエ係数となる

こんにちは。

[問]{φ_n(x)}を[a,b]での直交関数列とせよ。級数Σ[n=1..∞]a_nφ_n(x)が関数f(x)に[a,b]で一様収束する時,各n∈Nに対してa_nはfのフーリエ係数となる事を示せ。
[証]
仮定より[a,b]でΣ[n=1..∞]a_nφ_n(x)=f(x) …(1)と言える。
c_k (k=0,1,2,…)をf(x)の{φ_n(x)}に於ける[a,b]でのフーリエ係数とすると
フーリエ係数の定義から
c_k=∫[a..b]f(x)φ_k(x)dx/∫[a..b](φ_k(x))^2dx=∫[a...b](Σ[n=1..∞]a_nφ_n)φ_k(x)dx/∫[a..b](φ_k(x))^2dx (∵(1))
=∫[a...b]a_kφ_kφ_k(x)dx/∫[a..b](φ_k(x))^2dx(∵{φ_n(x)}は直交)
=a_k∫[a...b](φ_k(x))^2dx/∫[a..b](φ_k(x))^2dx
=a_k
となり,一様収束である事の条件を使わなかったのですがこれで正しいのでしょうか?

こんにちは。

[問]{φ_n(x)}を[a,b]での直交関数列とせよ。級数Σ[n=1..∞]a_nφ_n(x)が関数f(x)に[a,b]で一様収束する時,各n∈Nに対してa_nはfのフーリエ係数となる事を示せ。
[証]
仮定より[a,b]でΣ[n=1..∞]a_nφ_n(x)=f(x) …(1)と言える。
c_k (k=0,1,2,…)をf(x)の{φ_n(x)}に於ける[a,b]でのフーリエ係数とすると
フーリエ係数の定義から
c_k=∫[a..b]f(x)φ_k(x)dx/∫[a..b](φ_k(x))^2dx=∫[a...b](Σ[n=1..∞]a_nφ_n)φ_k(x)dx/∫[a..b](φ_k(x))^2dx (∵(1))
=∫[a...b]a_kφ_kφ_k(x)dx/∫[a..b](φ_k(x))^2dx(∵{φ_n(x)...続きを読む

Aベストアンサー

そのままでは直交性
∫[a...b]φ_n(x)φ_k(x)dx=0 (n≠k)
を利用できないので、Σと∫を入れ換えないといけないのです。


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