No.2ベストアンサー
- 回答日時:
対数微分法で微分できます。
まずは両辺の対数をとってy = x^(1/x)
→log|y| = log|x^(1/x)|
→log|y| = (1/x)log|x|
このlog|y| = (1/x)log|x|の両辺をxで微分します。
まず左辺をxで微分することを考えます。
f(x) = log|x|とおき、g(x) = yとおくと、
log|y| = f(g(x))
ですので、
(log|y|)'
={ f(g(x)) }'
= f'(g(x)) × g'(x)
です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
g'(x) = (y)' = y'より、
(log|y|)'
= f'(g(x)) × g'(x)
= y' / y
です。
y = x^(1/x)を代入すると
(log|y|)'
= y' / y
= y' / { x^(1/x) }
となります。
(log|y|)' = { (1/x)log|x| }'
→y' / { x^(1/x) } = { (1/x)log|x| }'
この両辺に{ x^(1/x) }をかけると
y' = { x^(1/x) } × { (1/x)log|x| }'
となります。
なので{ (1/x)log|x| }'の計算をすればy'が求まります。
積の微分で解いてください。
この回答への補足
ありがとうございます。
あと、この関数の∞極限と0極限はどのように求めたらよいのでしょうか?
結果は予想がつきますが、求め方がわかりません。
No.3
- 回答日時:
> あと、この関数の∞極限と0極限はどのように求めたらよいのでしょうか?
> 結果は予想がつきますが、求め方がわかりません。
y = x^(1/x)の極限値ですか?
0極限は簡単に求まります。
x→0ですので、x^(1/x)→0^∞となり、0に収束します。
等比数列r^nが|r|<1ならn→∞で0に収束するのと同じです。
次に∞極限ですが、これは最初に利用した対数を使えば求まります。
今回0 < xですので、対数に使ってた絶対値は必要ないので書きません。
logy = (1/x)logx
ここでx→+∞の時の(1/x)logxの極限値を考えます。
(1/x)logxを変形し、logx/xとします。x→+∞で
logx/x → +∞/+∞
となります。ロピタルの定理が使えるので使ってみます。
そうするとlogx/xの極限値は0となります。
(ただし、ロピタルの定理は高校では使用禁止ですので、もしyu_tefさんが高校生なら
別の方法でlogx/xの極限値が0になることを証明する必要があります。)
logy = (1/x)logxですので、x→+∞で(1/x)logx→0ならlogy→0です。
なのでlogy = 0となるようなyが、求めたい極限値ということになります。
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