微積分の問題です。問題は英語で書かれています。

原文: Show that the angle of incidence equals the angle of reflection for the parabola y^2=4x at the point (0.5, √2). The angle of incidence is measured between the horizontal line through this point and the tangent line at this point. The angle of reflection is measured between the focal line to this point and the tangent line at this point. Note: The focus for this parabola is at (1, 0).

日本語訳: 放物線 y^2=4x 上の点(0.5, √2)での入射角と反射角が同じであることを証明せよ。入射角は、この点を通る水平線とこの点に対する接線との間の角度を指し、反射角は、この点への焦点線とこの点に対する接線との間の角度を指す。注意: この放物線の焦点は(1, 0)である (と訳してみました)。

先生は

tan θ=|(M1-M2)/(1+M1-M2)|

を使え、とヒントをくれました。
でも解法は教えてくれませんでした。
自分でやったところまで書きます。
まず、ここでの水平線は y=√2 で良いですか?

放物線上の点(0.5, √2)から焦点(1, 0)への傾きは
y(1-0.5)=x(0-√2)
0.5y=-√2x
y=-2√2x
Y軸との交点 b は傾きに焦点の位置を代入して
0=-2√2*1+b
b=2√2
よってy=-2√2x+2√2x

放物線上の点(0.5, √2)の接線は
グラフを見ながら勘で y=√2x+√2/2 としてみると
なんとぴったりでした。
しかし、理由が分かっていません。

…分かるのはここまでです。
これから先はどうすればよいのでしょうか?
どなたか教えてください。よろしくお願いします。

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A 回答 (3件)

やり方が正しいか自信がないですが。



まず、放物線上の点(0.5, √2)の接線について、
放物線の式は y^2=4x で、点(0.5, √2)での傾きを調べたいので、x>0,y>0に限定して、 y=2x^(1/2)と変形します。
これをxについて微分して、y'=1/√x
よって、x=0.5=1/2での傾きは 1/(√1/2)=√2 とでます。
接線の式を y=√2x+p とおいて、x=0.5,y=√2を代入すれば p=√2/2となり式はy=√2x+√2/2 とでます。

入射角はこの接線の傾き(tan)そのものです。
反射角は接線y=√2x+√2/2 と焦点線y=-2√2x+2√2x のなす角です。
このtanを求めるヒントがtan θ=|(M1-M2)/(1+M1-M2)| です。
つまり、反射角のtanが√2であることを示せば良いと思います。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

そう、接線の計算は微分するんでした。
なんとか解けました!
ありがとうございました。

お礼日時:2002/03/12 03:24

大学への数学・数学ショートプログラムのP154ページ参照!但し、質問者が日本人であることに限る。



あと、接線の式を出したりするのはあまり、上手くない。そんなの出したりするのは時間がもったいない。このような考え方は極力排除されたい。
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この回答へのお礼

「大学への数学・数学ショートプログラム」というのが何だか、まず分かりませんでした。

お礼日時:2002/03/12 03:34

水平線と焦点線のなす角の二等分線を求めてみて,


それが接線と一致することを示しても良いのでは?
水平線は「 0・x + 1・y - √2 = 0」
焦点線は「2√2・x + 1・y - 2√2 = 0」
と書けます.
二等分線上の点(X,Y)はこの両者から等距離にあるので,
「点と直線の距離の公式」を用いると
|0・X + 1・Y - √2|/√(0^2 + 1^2) = |2√2・X + 1・Y - 2√2|/√{(2√2)^2 + 1^2}
整理して
3|Y - √2| = |2√2・X + Y - 2√2|
|3Y - 3√2| = |2√2・X + Y - 2√2|
絶対値が等しいということは(1)本当に等しい(2)プラスマイナスが違う
(1)の方を考えると
3Y - 3√2 = 2√2・X + Y - 2√2
Yについて整理すると
Y = √2・X + ( √2 /2)
となり接線と一致しますね.
(2)の方は(1)と垂直な「もう一本の2等分線」です.
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

そういう解き方もあるんですね。

お礼日時:2002/03/12 03:29

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Q太陽光の反射角の計算

■光の入射角
 北から時計回りにA度
 水平面から空方向にB度
■反射パネル
 真南向きに地面からC度の傾斜で設置
■光の反射角
 北から時計回りにX度
 水平面から空方向にY度

この条件下でXとYを算出したいですが、一般式の求め方はどうなるでしょうか?

 X=f(A,B,C)

 Y=f(A,B,C)

の関係式だと思います。

仮にC=0(水平に配置)だとすると、
 X=A+180
 Y=B
仮にC=90(鉛直に配置)だとすると、
 X=360-A
 Y=-B
になります。

よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

これは、X, Y という「角度」を求めるのは難しいので、「ベクトルの向き」ということで考えればよいでしょう。

話が厄介なのは、「反射パネルが傾斜している」ということなので、反射パネルを「水平」とみなす座標軸で反射を考え、元の「地面」を基準にした座標に戻してやればよいのです。

 地面を基準にした座標を、「地面をX-Y平面、北がY軸、東がX軸」「地面に鉛直な高さ方向をZ軸」にすると、入射光のベクトル →Ri は、ベクトルの長さを R とすると、きちんと図を書けばわかるように
  →Ri = (-R*cosB*sinA, -R*cosB*cosA, -R*sinB)
です。

 これを、「反射パネルをX-Y平面、北の方向がY軸、東がX軸」「反射パネルに鉛直な高さ方向をZ軸」に変換すると、要するにもともとの「地面」座標を、X軸を軸として角度「-C」だけ回転したものだということが分かります。つまり、X座標は変わらず、Y,Zが回転します。角度 -C だけ座標軸が回転すると、新しい座標 Y', Z' は
  Y' = Y * cos(-C) + Z * sin(-C)
  Z' = -Y * sin(-C) + Z * cos(-C)
となりますから、反射パネルを基準にした座標では、入射光 →Ri1 は
  →Ri1 = (-R*cosB*sinA, -R*cosB*cosA*cosC + R*sinB*sinC, -R*cosB*cosA*sinC - R*sinB*cosC)

 これが基準面(X-Y平面)で反射するということは、ベクトルのX,Y成分は変わらず、Z成分だけが反転するということです。つまり、反射光 →Ro1 は
  →Ro1 = (-R*cosB*sinA, -R*cosB*cosA*cosC + R*sinB*sinC, R*cosB*cosA*sinC + R*sinB*cosC)

 今度は、これを「地面」座標に戻すために、座標軸をX軸を軸として角度「C」だけ回転させます。
 その結果のY成分は、
   [ -R*cosB*cosA*cosC + R*sinB*sinC ]*cosC + [ R*cosB*cosA*sinC + R*sinB*cosC ]*sinC
  = -R*cosB*cosA*cos^2C + R*sinB*sinC*cosC + R*cosB*cosA*sin^2C + R*sinB*cosC*sinC
  = -R*cosB*cosA*(cos^2C - sin^2C) + R*sinB*(sinC*cosC + cosC*sinC)
  = -R*cosB*cosA*cos(2C) + R*sinB*sin(2C)
Z成分は
   -[ -R*cosB*cosA*cosC + R*sinB*sinC ]*sinC + [ R*cosB*cosA*sinC + R*sinB*cosC ]*cosC
  = R*cosB*cosA*cosC*sinC - R*sinB*sin^2C + R*cosB*cosA*sinC*cosC + R*sinB*cos^2C
  = R*cosB*cosA*(cosC*sinC + sinC*cosC) + R*sinB*(cos^2C - sin^2C)
  = -R*cosB*cosA*sin(2C) + R*sinB*cos(2C)

 これより、「地面」座標での反射光のベクトル →Ro は、
   →Ro = (-R*cosB*sinA, -R*cosB*cosA*cos(2C) + R*sinB*sin(2C), -R*cosB*cosA*sin(2C) + R*sinB*cos(2C))

 けっこう複雑ですねえ。計算間違いしているかもしれませんので、検算してみてください。

 ご質問のように、
■光の反射角
 北から時計回りにX度
 水平面から空方向にY度
という条件にすると、
 tanX = x/y = (-cosB*sinA)/(cosB*cosA*cos(2C) + sinB*sin(2C))
 tanY = z/√(x^2 + y^2)
    = [ -cosB*cosA*sin(2C) + sinB*cos(2C) ] / √[ (cosB*cosA*cos(2C) + sinB*sin(2C))^2 + (cosB*cosA*sin(2C) + sinB*cos(2C))^2 ]
    = [ -cosB*cosA*sin(2C) + sinB*cos(2C) ] / √[ cos^2B*sin^2A*cos^2(2C) + 2*cosB*cosA*cos(2C)*sinB*sin(2C) + sin^2B*sin^2(2C) + cos^2B*cos^2A*sin^2(2C) + 2*cosB*cosA*sin(2C)*sinB*cos(2C) + sin^2B*cos^2(2C) ]
    = [ -cosB*cosA*sin(2C) + sinB*cos(2C) ] / √[ cos^2B*cos^2A + 4*cosB*cosA*cos(2C)*sinB*sin(2C) + sin^2B ]
う~ん、ちょっと面倒くさいので、これ以上はパスします。
 おそらく、tanX、tanYでこれですから、
   X= ・・・
   Y= ・・・
とはうまく表せないと思います。

 ちなみに、Ri = (Rx, Ry, Rz) として、これを使って Ro を表わすと
   Ro = (Rx, Ry*cos(2C) - Rz*sin(2C), Ry*sin(2C) - Rz*cos(2C))
ですね。A, B は消えて、入射ベクトルに対して「C」のみの関数で表わせます。
 この形で表わすのが一番わかりやすいと思います。

 仮に、C=0° とすれば
   Ro = (Rx, Ry, -Rz)
ですから、素直な地面(XY平面)での反射です。
 また、C=90° とすれば
   Ro = (Rx, -Ry, Rz)
ということで、XZ平面での反射になります。
 正しい反射になっていますよね?

これは、X, Y という「角度」を求めるのは難しいので、「ベクトルの向き」ということで考えればよいでしょう。

話が厄介なのは、「反射パネルが傾斜している」ということなので、反射パネルを「水平」とみなす座標軸で反射を考え、元の「地面」を基準にした座標に戻してやればよいのです。

 地面を基準にした座標を、「地面をX-Y平面、北がY軸、東がX軸」「地面に鉛直な高さ方向をZ軸」にすると、入射光のベクトル →Ri は、ベクトルの長さを R とすると、きちんと図を書けばわかるように
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