小学４年の計算問題です。

掛け算、割り算の混ざった計算式は、左から順番にするように説明されています。
なぜでしょうか？
たとえば、１６÷８×２　などの場合、先に８と２をかけて１６として、１６÷１６で１としたほうが計算が速いような気がします。
しかし、正解は、４となります。
なぜでしょうか？
うまく説明できません・・・。
すみません、あほな質問で。

No.9 ベストアンサー 回答者： mmk2000 回答日時： 2006/09/08 00:28

シンプルなお答えとしては

「÷」は非可換で「×」は可換だから、というのはどうでしょうか？

÷と言う操作は

○÷△≠△÷○

ですが、×という操作は

○×△＝△×○

です。そういうのって大学数学の代数学で群、環、体あたりで詳しく学ぶような気がします。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
私の頭の中が少し整理できたようです。
小学生の問題が、大学数学までいくとは・・・学問とはつながっているものですね。(笑)

お礼日時：2006/09/10 20:06

No.14 回答者： stomachman 回答日時： 2006/09/10 12:44

No.13 ミスプリ訂正です。

>1×2×4も、(1+2)+4の省略です。

は間違い。

1×2×4も、(1×2)×4の省略です。

に訂正します。

この回答へのお礼

了解いたしました。

お礼日時：2006/09/10 19:49

No.13 回答者： stomachman 回答日時： 2006/09/10 12:40

[1] 式の書き方には大原則があります。

これは最も基本のルールなんで、憶えるよりしょうがない。

大原則：　括弧の中を先に計算すること。

この大原則だけから言うと、16÷8×2なんて括弧がないから、どこから計算していいか分からない「へんてこな式」なのです。

[2] 大原則とは別に、括弧を省略して書くことを許す規則があります。式を楽して書くためだけにある規則です。これも、普段いくらでも使われているものなんで、憶えるよりしょうがない。

括弧省略の規則に従うと、(16÷8)×2の括弧は省略して16÷8×2と書いてもよろしい。だから、16÷8×2という式を見たら、括弧を省略しないで本来の書き方をすれば(16÷8)×2だな、と考えて、計算は大原則に従って行うのです。
　しかし、16÷(8×2）のほうは、括弧を省略するのは禁止という規則になっています。(16÷8)×2は16÷(8×2）とは計算の順番が違うのに、もし両方とも括弧を省略して書いたら区別が付かなくなって困りますからね。

　6-2-1という式だって、(6-2)-1を省略して書いたものです。そして、6-(2-1)の括弧は省略禁止です。

　ところで、5+2×3はどうか。これはですね、5+(2×3)の省略なんです。掛け算と足し算が混ざってるときは、掛け算の方の括弧を省略してよいという規則があるんです。(5+2)×3の括弧は省略禁止です。
7-4÷3も7-(4÷3)の省略で、一方、(7-4)÷3の括弧は省略禁止です。

　括弧を省略して書いてある式を、省略なしの元の姿に戻すやりかたをまとめると、
(1) まず掛け算・割り算にさきに括弧を付ける。それから
(2) 掛け算・割り算の部分を左から順に括弧でくくる。そして
(3) 足し算・引き算の部分を左から順に括弧でくくる。
をこの順番でやります。

　たとえば
7+8÷2×3-6+5×2
だと、(1)をやって
7+(8÷2×3)-6+(5×2)
となり、次に(2)をやって
7+((8÷2)×3)-6+(5×2)
となり、そして(3)をやって
((7+((8÷2)×3)-6)+(5×2)
となる。これが、省略のない元の姿です。
　この元の姿にしてから、「括弧の中を先に計算する」という大原則で計算していけば、正しい答に行き着ける仕掛けです。

　括弧省略の規則は単に書き方だけの問題ですから、式が分かりにくいときには括弧を付けた式に戻してみれば良いのです。

[3] ところで、
1+2+4も、(1+2)+4の省略した書き方です。
1×2×4も、(1+2)+4の省略です。
　ただ、足し算ばかりを続けてやる場合と、掛け算ばかりを続けてやる場合に限っては、自由に順番を変えても答は同じになる。例えば(1+2)+4=(2+4)+1。
　これは足し算や掛け算という計算それ自体が持っている性質です。括弧省略の規則（書き方だけの問題）とは全然別のことです。

　割り算ばかりを続けてやる場合と、引き算ばかりを続けてやる場合には、ちょっと違います。この時には、
12-2-3の元の姿は(12-2)-3。だけど、(12-3)-2とやっても同じ答になります。（しかし、12-(2-3)とは違います。）
12÷2÷3の元の姿は(12÷2)÷3。だけど、(12÷3)÷2とやっても同じ答になります。（しかし、12÷(2÷3)とは違います。）
　先頭の12の部分は動かしてはいけないけれど、残りの部分は順番を入れ替えて、そして左から順に括弧を付けて行くと、答が同じになる。これも割り算や引き算が持っている性質であって、括弧省略の規則とは全然別のことです。
　
　このような特別な場合（他にもいくつかの場合がありますが）には、性質を利用して計算する順番を入れ替えることができる。

　ご質問は、「この性質を利用した賢い計算方法」と、「括弧省略の規則（書き方だけの問題）」をうっかりごっちゃにしたために生じたナゾだったわけです。まずは[1]と[2]を完全マスターした上でないと、[3]の段階には手が出せません。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
「この性質を利用した賢い計算方法」と、「括弧省略の規則（書き方だけの問題）」そう考えると、分かりやすいですね。
ありがとうございました。

お礼日時：2006/09/10 19:52

No.12 回答者： 8942 回答日時： 2006/09/08 11:50

÷□は分母に　×■は分子にと考えておけば、順番は気にしなくても

よいんでない？

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
確かに分数にすると分かるのですが、４年生に分からせるとなると・・・と言う感じです。

お礼日時：2006/09/10 19:53

No.11 回答者： 11miki11 回答日時： 2006/09/08 10:53

わかりきっているようで、なかなか説明の難しい質問だと思います。

それを小学4年生に理解させるとなるとかなり苦労するかと・・・

私が理解している方法は、他の方が説明されている通り「÷８」を「×１／８」と考える方法で「÷」という記号を「／」の上と下（分子と分母）に分けて考えています（＃２の方に近いかな？）

ただ、「分数」の考えが小学4年生に理解できているかの問題があるかと思います。

他の回答の方が示されている方法で、質問者のお子さん（かな？）が理解できる方法で教えてあげてください。「こうなるから、こう。こうするルールだから、こう」では算数嫌いになってしまうかもしれませんで・・・

でも、私はこの疑問を持たれたお子さん（かな？）の発想は素晴らしいと思いますよ。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。

＞ただ、「分数」の考えが小学4年生に理解できているかの問題があるかと思います。

そうなんですよ、まだ習っていないので・・・。
頭を悩ませます・・・。^^;

改めて考えると小学校の算数は、なぜか？と考え出すと難しいですね(笑)。

お礼日時：2006/09/10 19:59

No.10 回答者： yanasawa 回答日時： 2006/09/08 07:57

　×、÷は＋、－より先に計算します。

　しかし、×と÷の間に優先順位はありません。

　優先順位がない場合、左から計算することになっています。

　それが計算の手順です。

　「計算の手順通りにしなくてもいい」というものが「○○法則」です。「手順」とごっちゃになってはいけません。

　回答者の皆様、きちんと答えてあげてください。お願いします。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
その計算の手順を、なぜ？と聞かれたもので・・・。
そういうものだと思ってくれたらよかったのですが・・・(笑)。

お礼日時：2006/09/10 20:02

No.8 回答者： inu2 回答日時： 2006/09/08 00:27

1日目 16個のケーキを8人で食べました

2日目 同じく16個のケーキを8人で食べました

この二日間で一人当たり何個のケーキを食べた事になりますか

（16個÷8人）×2日間 = 4個
（1日の1人あたりのケーキの個数）× 二日間 って式ですね




しかし、8×2を先に計算してしまうと

1クラスあたり8人いる教室が2クラスあります
この2クラスで16個のケーキを食べると1人あたり何個のケーキを食べる事になるでしょう

って意味になってしまいますよね


16個 ÷ （8人×2クラス） = 1個
ケーキの個数 ÷（結局何人いるの？の答え）= 1個

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
なるほど、文章で説明すると分かりやすいですね、ありがとうございました。

お礼日時：2006/09/10 20:07

No.7 回答者： HAMA2 回答日時： 2006/09/08 00:26

何故突然そういった発想になるかがわかりませんが…「そういう決まり」では不満ですか？

例の計算「１６÷８×２」の場合まず１６÷８が２になるので２×２となるので、答えは４になります

先に８×２を計算したい場合は、１６÷（８×２）の式でなければなりません

括弧もないのに先に右側の計算をすると、当初の式の通りにならなくなります

例の式ですと、８×２を先にすると
結果として２は掛けずに割ることになります

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
「そういう決まり」て゜は納得してくれないんですよ・・・。
鋭い指摘で弱りました。

お礼日時：2006/09/10 20:14

No.6 回答者： sala1985 回答日時： 2006/09/08 00:26

数字の前の記号は、その数字に必ず対にしておいてみてください。

「１６」と「÷８」と「×２」でできているので、
それはどこから計算しても答えは４になります。
右から計算しなくてもいいんですよ、掛け算割り算は。

もしくは全部掛け算として考えてみる。
１６×（１/８）×２となります。
どこから計算しても答えは４です。

質問者さんは、式を
１６÷（８×２）＝16を８で割って、さらに２でわる＝１６÷１６と、
勝手に変えてしまっていると思われます。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。

＞数字の前の記号は、その数字に必ず対にしておいてみてください。

記号の考え方が変わりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2006/09/10 20:19

No.5 回答者： k_yuu01 回答日時： 2006/09/08 00:25

基本的に文は左から読みますよね。

計算もそんな感じで、１６÷８×２は「１６を８で割り、その後２をかけますよ」という意味だからです。

疑問に思われている１６÷８×２＝１？は、１６÷（８×２）ということならば正しいですが、これは「１６を、８と２を掛けたもので割る」という意味で１になります

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
文章題にすると、分かりやすくなりますね。

お礼日時：2006/09/10 20:20