相加・相乗平均の関係

相加・相乗平均の関係について質問です。

相加・相乗平均の式は、不等式の証明等でよく使いますし、なかなか自分でも使い慣れてきたとは思うのですが、考えてみると、どうして成立するのか。そもそも、どうして相加・相乗平均の式で最小値が求まるのか、疑問がわいてきました。そこで質問なのですが、相加・相乗平均の式の意味を教えてください。あともう一点、もし証明するようなことが可能であれば、証明の仕方を教えてください。大学受験レベルでは必要ないでしょうか？よろしくお願いいたします。

No.2 回答者： sonetea 回答日時： 2006/10/26 08:29

証明への取っ掛かりに関しては ryn さんが説明しているので、別なところを。

> そもそも、どうして相加・相乗平均の式で最小値が求まるのか、疑問がわいてきました。

相加相乗平均の式で重要なのは、a, b >= 0 のときに
(a + b) / 2 >= √(ab)
が成立することだけではなく、
a = b のときに等号が成立するという点にもあります。
つまり必ず
(a + b) / 2 = √(ab)
になるa, bが存在することが保証されています。

実際に使う場面では、
aとbに相当するものを見つけ出し、
a + b >= 2√(ab)
の形にして、a = bのときに最小値を求められます。

> 大学受験レベルでは必要ないでしょうか？

頻繁にではないですが出てきますね。
単発で相加相乗平均を使うというよりかは、
証明問題の式を変形していって、最後の方で、
a, bに相当するものを見つけて使用することが多いかもしれません。
式自体は難しいものではなく、使えるかどうかに気づくか気づかないかというのがポイントなので、
『不等式の証明や最小値を求める』という場合には頭の片隅に置いておくと良いでしょう。

No.1 回答者： ryn 回答日時： 2006/10/26 02:05

実数の2乗は0以上であることを使うだけです．

　(√a - √b)^2 ≧0
を変形してください．

ここがスタートなので a,b が正という条件がつきます．