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リー微分は普通の微分とどこが違うのでしょうか?

代数学や解析のテキストを読んでも、定義や定理の証
明が私にとっては難しすぎるので、さっぱりイメージ
が掴めません(それを乗り越えないと理解できないの
かもしれませんが…)

私は工学が専門なので、直感的なイメージを掴みたい
のですが、それは無理な話なんでしょうか?

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A 回答 (4件)

>1パラメータを時刻、Kをベクトル空間における値、


>変換群を演算子として考えると、たとえば、時刻tに対
>して連続に変化する演算子A(t)を考え、同様にtが若
>干変化した演算子A(t+dt)を考えると、y1=A(t)x と
>y2=A(t+dt)xを計算した場合、Lie微分はy1とy2の差で
>ある、という解釈でよろしいのでしょうか?

概ね正しいと思いますが、いくつかの注意が必要です。
1.前回は可能な限り平易に書いたつもりですので、
 その対価として著しく厳密性を欠いています。
 ここを考えた上で、「y1とy2の差」というとらえ方を
 修正する必要があります。
2.演算子A(t)の大まかな意味を理解していないと意味がありません。

[1について]
Lie微分の正しい式は、ベクトル場Xの1-parameter変換群をφ_t(x)と書くとき、
lim_{t→0} [{(φ_(-t))_*}Y - Y] / t
です。
これは、tでparametrizeされたベクトル場{(φ_t)_*}Yの意味を
理解していれば、次のように読むことができます。
(tを固定するたびにベクトル場が1つ決まる、という状況です)

いま、φ_0は考えている多様体M上の自己微分同相ですが、
1-parameter変換群の定義によりこれは恒等写像です。
ですから、ベクトル場の族Y(t)を、
Y(t) = {(φ_t)_*}Y
で定めれば、上の式は
lim_{t→0} {Y(-t) - Y(0)} / t
と書けます。
符号にさえ注意すれば、あとは普通の微分と同じように理解できます。
(これは「-Y'(0)」です)
republikyさんの言葉で言えば、A(t)は(φ_t)_*に相当すると思います。
よって、修正するとすれば、Lie微分とは
A(t)のt=0での「導関数」の、符号を反対にしたもの、となります。
#1では符号については敢えて書きませんでした。


[2について]
後は(φ_t)_*の意味をつかめばいいのですが、
正直、これは図なしで説明するのはキツいです。

まず、一般の微分同相写像fの場合の、(f_*)Yを説明します。
(数学的には、fが単に写像、というだけでは定義がうまくいかないことに注意してください)
ベクトル場Yを「流れ」として考えた場合、
その「流れ」を表す曲線たちをfで写すことができます。
その写した後の流れが表すベクトル場を、(f_*)Yと書きます。
例えば、Euclid平面上で、Y=d/dx(x軸方向の大きさ1の「流れ」)、
微分同相fを原点を中心とする90度回転、とする場合、
(f_*)Y=d/dy(y軸方向の大きさ1の流れ)
となります。
数学的な式では、{(f_*)Y}(x) = (f_*){Y(f^(-1)(x))}です。
(この式と上の定義が同じ、ということが分かれば理解完了です)
(右辺のf_*はdfと書くこともあります)
(fの逆写像を使って定義するため、fが微分同相と仮定しました)

さて、{(φ_t)_*}Yに戻ります。
tが十分小さい場合、{(φ_t)_*}Yは、
ベクトル場Yを上のやり方で、Xの流れに沿って少しだけずらしたもの
と考えられます。
「流れを、流れに沿って流す」わけです。
図を描いてイメージをつかむのが良いと思います。
うまく説明できなくてすみません。


[補足]
・Lie微分の計算は、L_X(Y) = [X,Y] = XY-YXを駆使すればできると思います。
・Lie微分の他に、共変微分というものもあるのですが、
 共変微分と比較した場合のLie微分の特徴は、点pでのL_X(Y)の値が
 何に依存するか、という点です。
 共変微分はXのpでの値と、Yのpの周りでの値に依存し、
 Lie微分はXのpの周りでの値と、Yのpの周りでの値に依存します。
 (Lie微分には「微分する側」と「微分される側」の性質上の区別がありません)
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>(Lie微分には「微分する側」と「微分される側」の性質上の区別がありません)


読み返してみると、誤解を招きかねない表現でした。
L_X(Y) = L_Y(X)
という意味ではありませんので注意してください。
(正しくはL_X(Y) = -L_Y(X)です)

通常の微分では、点pでの「微分係数」はX(p)(微分する側のベクトル場Xの、点pでの値)
で決まり、p以外の場所でのXの値にはよりませんが、
Lie微分ではそんなことはなりたたない、ということが言いたかったのです。
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この回答へのお礼

詳しいご説明ありがとうございます。
まだ力不足で、理解が不十分な点が若干ありますが、
以前に比べかなりクリアになったような気がします。

zzzzzzさんの回答を参考に、再度勉強して完全な
理解にしていきたいと思います。

お礼日時:2002/05/06 10:01

テンソルについて調べてみました。



人間の皮膚にもある?テンソル感知式触覚センサー
http://www.alab.t.u-tokyo.ac.jp/intro/alab98_4.h …

テンソルなどの用語を相対性理論の文脈で紹介
http://member.nifty.ne.jp/GYAKUSOU/sou3/sansaku/ …

下記参考URLでは微分多様体を教科書風に解説

参考URL:http://village.infoweb.ne.jp/~fwiz0276/manifold. …

この回答への補足

ありがとうございます。

リンクのページを見ました。テンソルに関する知識が
十分でないと、リー微分に関する正しい理解は出来な
いようですね。

そういえば、大学時代、応力テンソルって習ったよう
な気がします。応力を行列表現したものという軽い解
釈でいたんですが、リンク先のページを読むとテンソ
ルってもっと奥が深いようですね。

もう一度、昔のテキストを引っ張り出して、勉強して
みたいと思います。リー微分まで遠い道のりになりそ
うです(笑)。

補足日時:2002/04/30 20:00
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Lie微分は関数に対する微分の拡張で、テンソル場に対する微分です。


直感的と言えるかどうかは分かりませんが、
ベクトル場XでのKのLie微分の結果は、Xの1-parameter変換群でKがどのくらい動くか、を表します。
(この性質だけでは特徴付けられませんが)
よりいい加減に言えば、ベクトル場X,Yを、各点で「矢印」が定まったものとして考えた場合、
Yの矢印をXの矢印の流れに従って流した時に、流した先にあったYの矢印とどのくらいずれているか、を表します。

この回答への補足

早速の回答ありがとうございます。

> ベクトル場XでのKのLie微分の結果は、Xの1-parameter変
>換群でKがどのくらい動くか、を表します。

1パラメータを時刻、Kをベクトル空間における値、
変換群を演算子として考えると、たとえば、時刻tに対
して連続に変化する演算子A(t)を考え、同様にtが若
干変化した演算子A(t+dt)を考えると、y1=A(t)x と
y2=A(t+dt)xを計算した場合、Lie微分はy1とy2の差で
ある、という解釈でよろしいのでしょうか?

全く見当違いかもしれませんが・・・

補足日時:2002/04/30 09:32
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微分幾何学の定評ある教科書を教えていただけないでしょうか?
入門書がよいです。
私は素人ですが、微分幾何を独習したいです。
物理学科出身なので教養程度の数学の知識はあります。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

微分幾何の入門書は
「小林・野水」
と呼ばれる書籍が定番でしょう.
書名は
「Foundations of Differential Geometry」
(出版はWiley)
結構値段の高い本ですが,世界的に評価の高い定番本で,
数学の図書室には複数冊あるんじゃないでしょうか
内容は結構現代的で下の「野水本」とかぶっています.
日本でも入手可能だと思われます.

日本語の文献だと,
やはり「裳華房の小林先生の本」で通じる
裳華房の
「曲線と曲面の微分幾何」(小林昭七)
とか,同じく裳華房の「野水本」
「現代微分幾何入門」(野水克己)
でしょうか.野水本はちょうど2009年3月に復刊されてます.
「曲線と曲面の微分幾何」の方がかなり入門的です.
「現代微分幾何入門」の方は
「ファイバーバンドル」とか「接続」とか
まさに「現代」的なものが主題です.
物理系で使うのだったら,リーマン計量は必須でしょうから
両方見てみるのがよいかもしれません.

そのほか,大部でかなり物理的に重いですが,
M. Spivakの
「A Comprehensive Intoduction to Differential Geomtry」
というのもあります(全5巻の白い本).
かなり初歩的なところからスタートしてる分いいのですが
とにかく長くて・・・。
必要なところをつまみ食いするのがよいでしょう.

微分幾何の入門書は
「小林・野水」
と呼ばれる書籍が定番でしょう.
書名は
「Foundations of Differential Geometry」
(出版はWiley)
結構値段の高い本ですが,世界的に評価の高い定番本で,
数学の図書室には複数冊あるんじゃないでしょうか
内容は結構現代的で下の「野水本」とかぶっています.
日本でも入手可能だと思われます.

日本語の文献だと,
やはり「裳華房の小林先生の本」で通じる
裳華房の
「曲線と曲面の微分幾何」(小林昭七)
とか,同じく裳華房の「野水本」
「現代微分幾...続きを読む