a,bを異なる素数とする。
(1)a*bの正の約数は何個あるか?
またそれらの和はいくらか?
(2)a^2*b^2の正の約数は何個あるか?
(3)1225(=5^2*7^2)の正の約数全体の和はいくらか?
(1)はaとbが約数となり、2個。
和はa+b
(2)はa^2の約数が2個、b^2の約数が2個で、
合計4個の約数を2つずつ組み合わせて6通り。
4+6=10個。
と考えたのですが、合ってますか??
なんだか違うような気がして・・・。
(3)にいたっては、頑張って計算したら求められると思うのですが、
もっと簡単な方法があるような気がします。
ご回答、よろしくお願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(1)
a、b以外に1、a*bもありますので4つ。
例えばa=3、b=5の15の約数は1、3、5、15ですよね。
合計はa*b+a+b+1=(a+1)(b+1)
(2)
約数は1、a、a^2、b、a*b、a^2*b、b^2、a*b^2、a^2*b^2の9個。
実を言うと、これはa^p*b^q(pもqも0、1、2のいずれか)と表すことができます。
(a^0*b^0=1、a^1*b^0=a、a^2*b^0=a^2、a^0*b^1=b、a^1*b^1=a*b、a^2*b^1=a^2*b、a^0*b^2=b^2、a^1*b^2=a*b^2、a^2*b^2=a^2*b^2)
つまり、これら約数の合計は(a^0+a^1+a^2)(b^0+b^1+b^2)=(1+a+a^2)(1+b+b^2)と表せます。
(3)
これを利用して1225の約数の合計は(1+5+25)(1+7+49)=31*57=1767となります。
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