こんにちは。高校2年生です。
学校で唐突に以下の一橋大学の過去問を出題されました。いくら考えても値がおかしくなってしまいます。教えてください!!
※xの2乗はx2、2分の1は1/2で表します。
問.p,qはp>qを満たす定数で、2つの放物線y=1/2(x2+px+q)・・・〔1〕、y=1/2(x2+qx+p)・・・〔2〕は点(a,0)において交わり、交点における両放物線の接線は互いに直行する。
1)aの値を求めよ。
2)p,qの値を求めよ。
わかりにくければ紙などに書き写していただければ、見やすくなると思います。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
1)は 放物線[1]と[2]から連立してyを消去すると
1/2(x2+px+q)=1/2(x2+qx+p)となり、両辺を2倍してx2を移項して相殺すると、px+q=qx+pとなり、これを満たすxの値がaの値となるから、p>qよりx=1つまりa=1となります。
2)は pとqの値、つまり未知数を2つ求めたいので、条件式が2つ必要になります。
1つ目の条件式は、放物線[1]と[2]が(a,0)つまり(1,0)を通ることを利用すれば、1/2(1+p+q)=0 となり、両辺を2倍すると、p+q+1=0 …(1) となります。
2つ目の条件式は、接線が直交するので接線の傾きをかけると-1になることを利用すれば、放物線[1]を微分してy'=1/2(2x+p) となり、放物線[2]を微分してy'=1/2(2x+q) となるから、それぞれの接線の傾きは、xに接点のx座標であるaつまり1を代入すれば、1/2(2+p) と 1/2(2+q) となります。これをかけて-1とすればよいので、1/4(2+p)(2+q)=-1 となり、両辺を2倍して(2+p)(2+q)=-4 …(2)となりました。
あとは連立方程式(1)(2)を解けば、(p,q)=(2,-3),(-3,2)が求められますが、条件にp>qとあるので、(p,q)=(2,-3)となると思います。
計算は恐らくあっていると思いますが間違っていたらすみません。一度確認してみてください。
ちなみに、問題文にある p>q みたいな、文字の大小関係を表す表現は、p-q>0 と変形できることから、p-q≠0 つまり、p-q でくくって割ることができる! ということを示唆しているので、1)のaを求めるときに、p-q で因数分解して両辺をp-qで割るという変形が予想できます。
No.2
- 回答日時:
aは2式に(a,0)を入れて余分なものを消せば以外と簡単に求まります。
あと傾きm1,m2が直交するとはm1*m2=-1です。これらからうまくp,qの式を選び出して計算します。
No.1
- 回答日時:
1)は二式を連立してxを求めたら、できますよね。
2)は直交するとは、どういうことかを考えれば出来るはずです。
p,qの二つの未知数があるのですから、当然p,qの関係式が二つ必要
です。そのうち1つは、(a,0)を放物線の式のx,yに代入します。
このときaは1)で求めた値を使います。
もう1つの式は、接線の傾きを求め直交することを考えて導きます。
放物線の二次関数を微分すれば、接線の傾きが分かります。
問題で与えられた二つの放物線の式を微分して、接線の傾きを
求めたら、直交する条件に当てはめれば良いはずです。
頑張ってください。
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