XYZ座標において、二つの球面が交わって出来る交線の円の方程式の解き方を教えてください。
ただし半径は同じ長さRとします。
それぞれの二つの球の方程式を

(X-a)^2+(Y-b)^2+(Z-c)^2=R<2

(X-d)^2+(Y-e)^2+(Z-f)^2=R<2 とすると?

そこからどのようにして解いたら良いか分かりません。
代入するんでしたっけ、それともイコールでつなぐんでしたっけ?

高校数学を学んでから十数年経った今、数学が必要になり勉強し直しています。
どなたか、教えてください。

A 回答 (2件)

かなり懐かしい問題ですね^^。


自信があるようなないような・・・・。
円の中心と、半径を求めるのは簡単ですが・・・^^
とりあえず参考までに・・・

空間における円の方程式は、球と平面の交線で表せますから、
二球の共通平面を求めることが必要ですね。

この場合、単純に二式を引くと、二次の項がすべて消えるので
二つの球の共通平面の式が得られます。
よって、求めたい二球の交線からなる円の式は、

・平面の式
・どちらか一方の球の式

の二式を同時に満たす関数ということになります。
空間上の円は一つの式で表せません。



一般に以下の式で表せる二つの図形、

f(x、y、z)=0
g(x、y、z)=0

の交点を通る図形は、m、kを任意の定数として、

mf(x、y、z)+kg(x、y、z)=0

あるいは、(普通mもkも、0でないのでs=k/mとして)

f(x、y、z)+sg(x、y、z)=0

を満たします。このlとkの選び方で、どういう図形かがきまりますね。
この、f(x、y、z)とg(x、y、z)にそれぞれ球の式を代入すると、
二球の交線を通る図形の一般式 が得られます。
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この回答へのお礼

空間上の円を一つの式で表そうとしてたところに
問題があったとは、解答ありがとうございました。

お礼日時:2001/01/14 23:19

高校生レベルの回答ですけどよろしいでしょうか?


先ずは円の中心座標ですがこれは二つの球体の中心座標の中点となります。
次に半径ですが、片側の球の中心座標と先に求めた円の中心座標との距離を求めます。距離Lは√(a1-a2)^2+(b1-b2)^2+(c1-c2)^2です。
これとその片側の円の半径が分かっていますから、これらは三平方の定理で解けます。これで、円の半径と中心座標は分かりました。
次に、この円の通る平面の方程式を解きます。
二つの球体の中心座標を通る直線は求める円を属する平面の法線の関係になっていますから、
(x-a)/b=(y-c)/d=(z-e)/f=Kとなります。
次にこの直線と平面の関係は、bx+dy+fz=mとなります。(k、mは一定です。)
残された未知数はmであり、先ほど求めた円の中心座標を代入すれば平面の方程式が求められます。これが、高校生レベルでの回答です。
それ以上の回答は答えれません。
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この回答へのお礼

ご解答ありがとうございました。
参考になりました

お礼日時:2001/01/18 00:35

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Q球と平面の交わりである円の中心と半径

球x^2+y^2+z^2=25と平面3x-4y+5z-30=0の交わりである円の中心と半径を求めよ。
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円の中心の座標を(a,b.c)とすると、平面上にあるので3a-4b-5c=30
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ご回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>円の中心の座標を(a,b.c)とすると、平面上にあるので3a-4b-5c=30…(1)

「円の中心(a,b,c)と半径r」と「球の中心(0,0,0)と半径R=5」の間に3平方の定理が成り立つことから
 (a^2+b^2+c^2)+r^2=25…(2)

球の中心と円の中心の距離は球の中心から平面に降ろした垂線の長さに等しいことから
a^2+b^2+c^2=30^2/(9+16+25)=18…(2) なので
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 x/3=y/(-4)=z/5(=tと置く)…(4)
この法線上に点(a,b,c)があることから
 a/3=-b/4=c/5=t…(5)
a=3t,b=-4t,c=t …(6)
(6)を(2)に代入
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 ∴a=9/5,b=-12/5,c=3

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x-y+2z-4=0
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求める平面上の任意の点を(x,y,z)とすると,これと(0,1,0)を結ぶベクトル(x,y-1,z)は
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akatukinoshoujoさん、こんにちは。

>x-y+3z-1=0・・・・(1)
>x+2y-z-3=0・・・・(2)とおきましょう。
(1)(2)より、連立方程式を解いて、x、y、zをそれぞれどれか一つの文字で表していきます。

(1)×2 2x-2y+6z-2=0
(2)   x+2y-z-3=0
------------------------------これを足してみると
      3x+5z-5=0
      x=-5(z-1)/3・・・・(☆)

(1)   x-y+3z-1=0
(2)×3 3x+6y-3z-9=0
------------------------------これらを足し合わせると
      4x+5y-10=0
      4x=-5(y-2)
      x=-5(y-2)/4・・・・(★)

(☆)(★)より、yとzをxであらわせたので、つなげてみましょう。

x=-5(y-2)/4=-5(z-1)
もうちょっと整理すると、
x/5 =(y-2)/-4 =(z-1)/-3
となって、これは(0,2,1)を通り、方向ベクトルが(5,-4,-3)の
直線になることを示しています。


方程式が2つあるので、どれか一つの文字で表して、つなげてみるといいですね。
頑張ってください!!

akatukinoshoujoさん、こんにちは。

>x-y+3z-1=0・・・・(1)
>x+2y-z-3=0・・・・(2)とおきましょう。
(1)(2)より、連立方程式を解いて、x、y、zをそれぞれどれか一つの文字で表していきます。

(1)×2 2x-2y+6z-2=0
(2)   x+2y-z-3=0
------------------------------これを足してみると
      3x+5z-5=0
      x=-5(z-1)/3・・・・(☆)

(1)   x-y+3z-1=0
(2)×3 3x+6y-3z-9=0
------------------------------これらを足し合わせると
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Q2平面の交線と原点を含む平面の方程式

2平面の交線と、それを含む平面の方程式について質問です。

よろしくお願いします。

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交線を通る平面の式:
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(h,kは同時に0とならない任意定数)
この平面が原点を通るので(x,y)=(0,0,0)を代入してkを求めれば良い。
-4ah-6ak=0
a(2h+3k)=0
a=0 or 3k=-2h(≠0)

a=0の場合
2つの方程式は共に原点(0,0,0)を通るので交線も原点を通る。
h,kを同時にゼロにならない任意の定数とすると
平面:h(2x-y+√2z)+k(-2x+y+2√7z)=0
が条件を満たす。

a≠0の場合
3k=-2h(≠0)
3h(2x-y+√2z-4a)-2h(-2x+y+2√7z-6a)=0
hで割り簡単にして
平面:10x-5y+(3√2-4√7)z=0
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求められる所までは分かっています。
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この後、どーすれば良いのかが分かりません。

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3点を通る円の方程式でしょ?球じゃなくて。
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(X1,Y1,0), (X2,Y2,0), (X3,Y3,0)
に変換されるようにすれば、(このようなAは何通りもあります。)
Z=0の平面上の3点を通る円を決める問題になります。

 円の方程式
(X-B)^2 + (Y-C)^2 = R^2
は、3次元で見るとZが出てこない訳ですから、(球ではなく)軸がZ軸と平行な円柱を表しています。この方程式(つまりB,C,Rの値)が得られたら、これと、方程式
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Q球面と直線の交点

点P(Px,Py,Pz)から方向ベクトル(x,y,z)にのびた直線が、原点O(0,0,0)、半径rの球の表面と交わる点Qの座標を求めたいのですが、どなたか教えていただけないでしょうか。

O-P-Qの三角形を作ると、辺OPの長さ、辺OQの長さ(=r)と∠OPQの角度は求まるので、余弦定理から辺PQの長さが求まります。
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Aベストアンサー

なにやら難しいことをお考えのようですが、以下のようにやれば簡単です。

直線は、(X,Y,Z)=(Px,Py,Pz)+t(x,y,z)と表されるので、直線上の点(X,Y,Z)は、
 X=Px+tx
 Y=Py+ty
 Z=Pz+tz
である。(※)

これを球の方程式X^2+Y^2+Z^2=r^2に代入し、tの2次方程式を解いてtの値(2つ。ただし、接するなら1つ)を求め、※に代入すれば、Qの座標がわかる。

Q2つの球面の交わりの円

2つの球面の交わりの円

2点(0、0、1)、(2、2、5)を直径の両端とする球面をS1、2点(-1、0、3)、(3、4、1)を直径の両端とする球面をS2
とし、S1、S2の交わりの円Cの中心Cの座標と半径を求めよ。

教えてほしいところ
自分は中心間の距離はO2の半径より短いのでまず、中心は球2の内部にあると考えました。
そして、中心座標の位置関係と内部にあることから球と球の交点座標はO1よりすべて左側にあると判断しました。
しかし、間違いらしいです。僕の考え方のどこが間違いなんでしょうか??
また、O2とPCが垂直であるとなぜいえるんですか??

Aベストアンサー

おはようございます。

うーん、いつもの論理性がない・・・
>O1はS1の中心,O2はS2の中心、Pは球S1、S2の任意の交点です。
>O1からみて相対的にPが左側にあるということです。
点Cとはどこですか?
そして、「相対的に左側」とはどこから(どの方向から)見た基準で言っていますか?
反対側からみれば、「右側」になってしまいますよ・・・

2つの球の中心は、ともに x= △の平面上にあるので、
まずはその平面で切った断面図で考えてみるのがいいと思います。

Q1次変換の問題について

1次変換についての問題をといています。
次の問題について教えてください

次の各行列で表される1次変換により自分自身に移される直線の方程式をすべて求めよ
行列   3 2
      2 3

この問題の考え方からさっぱりです。
よろしくお願いします。

行列式が見にくくてすいません

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1次変換の問題とするから、わからないんだろう。
座標の問題とすると、簡単。実際に、座標の問題なんだが。
やってみよう。

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点(3x+2y、2x+3y)が(1)の上にあるから、a(3x+2y)+b(2x+3y)+c=0  → (3a+2b)x+(2a+3b)y+c=0 ‥‥(2)。
題意から、(1)と(2)が一致するから、(3a+2b)/(a)=(2a+3b)/(b)=c/c
・c=0のとき、(3a+2b)/(a)=(2a+3b)/(b) よりa=±bだから、(1)は y=±x
・c≠0のとき、(3a+2b)/(a)=(2a+3b)/(b)=1 よりa+b=0 となるから、(1)は a(y-x)+c=0 → y=x+m とあらわせれる。但し、mは任意の実数。

以上から、求めるものは y=-x、y=x+m 但し、mは任意の実数

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という問題です。

この問題を解くにあたり、初めて複素関数の勉強をしました。

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というところまでは分かったのですが、円の中心と半径がどのように
なるのかがよく分かりません。

この問題だと、円の中心と半径を求めろということだと思うのですが、
それでいいんですよね?

解き方を教えてください。
よろしくお願いしますm(_ _)m

Aベストアンサー

z=a+iy
w=u+iv
=1/z=1/(a+iy)=(a-iy)/(a^2+y^2)
u=a/(a^2+y^2)
v=-y/(a^2+y^2)
u^2+v^2=1/(a^2+y^2)=u/a
{u-(1/2a)}^2+v^2=(1/2a)^2
w平面上のw=u+ivの実部uと虚部vの間に円の方程式の関係あり、
x平面上のx=a(実部一定)の直線がw平面上では円に写像されると言うわけです。円の中心zo=1/(2a)+i(0)、半径1/(2a)の円ですね。

Q3次元座標2点からの直線式の求め方

お世話になります。

3次元座標2点からの直線式(ax+by+cz=0)の求め方を教えて下さい。

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基本的な質問で申し訳ありませんが、よろしくお願い致します。

座標1 = (x1,y1,z1)
座標2 = (x2,y2,z2)

以上

Aベストアンサー

> 直線式(ax+by+cz=0)の求め方を教えて下さい。
3次元座標では(ax+by+cz=0)は原点を通る平面になり、直線の式ではありません。ax+by+cz=dは平面の一般式です。

2点を通る直線の式には公式があります。
以下のように簡単に導けます。
点(x1,y1,z1)を通り方向ベクトル(x2-x1,y2-y1,z2-z1)の直線ですから
媒介変数形式で
(x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
と成ります。
これを変形してすれば
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1)
と3次元座標の直線の式となります。


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