線形代数 Tr

ｎ×ｎの正方行列で
Ｔｒ（ＡＢ）＝Ｔｒ（ＢＡ）
のちゃんとした証明が知りたいです。

なんとなく対角成分を書き出して、
a1b1・・・anbn
b1a1・・・bnan
となることは分かるんですが、どのように証明すればいいでしょうか？？
ご指導おねがいします。

No.5 回答者： kabaokaba 回答日時： 2007/02/18 18:05

>なんとなく対角成分を書き出して、

>a1b1・・・anbn
>b1a1・・・bnan

行列の積を理解してますか？

A=(a_{ij}), B=(b_{ij})
とおくと
AB = ( Σ_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} )
BA = ( Σ_{k=1}^n b_{ik}a_{kj} )
ですので
Tr(AB) = Σ_{l=1}^n Σ_{k=1}^n a_{lk}b_{kl}
= Σ_{l=1}^n Σ_{k=1}^n b_{kl} a_{lk} (積の順番を変えた)
= Σ_{k=1}^n Σ_{l=1}^n b_{kl} a_{lk} (有限だから和の順番を変えた)
= Σ_{l=1}^n Σ_{k=1}^n b_{lk} a_{kl} (kとlを入れ替えた)
= Tr(BA)
です．
これだけで，別に帰納的でもなんでもなく
Σの計算練習くらいですよ．
シグマを使わず，n=3 くらいでやってみれば
すぐに理解できるでしょう

No.4 回答者： KENZOU 回答日時： 2007/02/18 17:59

積の行列ＡＢの(i,i)成分はΣ[j=1,n]aijbjiとなりますね。

同様にＢＡの(j,j)成分はΣ[i=1,n]bjiaijとなります。そこでTr(AB)は
Tr(AB)=Σ[i=1,n](Σj=1,n]aijbji)=Σ[j=1,n](Σ[i=1,n]bjiaij)=tr(BA)

（P.S)記号を多用しますので、例えば3行3列の行列の積の具体的な成分を書きながら理解を進めてください。

No.3 回答者： pianist87 回答日時： 2007/02/18 17:55

試験問題の解答となり得る程度の証明でしたら、

以下のオックスフォード大学数学研究所(written in English)のサイトに記載されています。

英訳は必要ならば手伝いますが、あまり日本語が得意でないので訳の正確さは信用しないで下さい。

参考URL：http://www.maths.ox.ac.uk/current-students/under …

No.2 回答者： pianist87 回答日時： 2007/02/18 17:23

ちゃんとした証明とのことで、より数学的に厳密な証明方法が知りたいのでしょうか。

それならば、シグマ記号を使うことで帰納的に証明できます。

この回答への補足

試験問題の解答になる程度の証明が知りたいです

補足日時：2007/02/18 17:26

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/02/18 16:56

A = (a_ij)、B = (b_ij) と置いて、ひたすら計算すれば、誰でも証明できます。