半径１の球に内接する立方体の一辺の長さ

いつもありがとうございます。

タイトルのように、半径１の球に内接する立方体の一辺の長さを問う問題について質問させてもらいます。内接する立方体の頂点のうち、最も遠いものどうしを結ぶ対角線と、立方体の一辺、およびそれを√2倍した斜辺からなる、直角三角形での三平方の定理で、すぐに解けるようです。そして答えは2/√3となります。ここで、最初の「最も遠いものどうしを結ぶ対角線」は、球の中心を通る（ゆえに長さ２）直線である必要があります。これは当然のようにも思いますが、改めて考えると、自明とも思えないような気がしてきました。最も遠いものどうしを結ぶ対角線は球の中心を通る直線であることを直感的に理解する方法はありますでしょうか。あるいはそれなりの証明が必要でしょうか。検討違いな質問でしたらすいませんが、どなたかご助言下さい。

No.1 ベストアンサー 回答者： chie65536 回答日時： 2007/02/20 15:35

「最も遠いものどうしを結ぶ対角線を二等分する点をＰとする時、各頂点はすべてＰと等距離にある」と言う事を証明すれば良いです。

て言うか、立方体に限らず、直方体の場合も「最も遠いものどうしを結ぶ対角線を二等分する点をＰとする時、各頂点はすべてＰと等距離にあり、Ｐは球の中心点」が成り立ちますけどね。

この回答へのお礼

さっそくのご回答ありがとうございます。

「最も遠いものどうしを結ぶ対角線を二等分する点をＰとする時、各頂点はすべてＰと等距離にある」ことの証明とは、まさに例の対角線は球の中心を通ることの証明ですね。その内容は興味深いような、厭わしいような気もします。
立方体に限らず「最も遠い対角線を二等分する点をＰとする時、各頂点はすべてＰと等距離にあり、Ｐは球の中心点」とは、いいことを教えていただきました。ありがとうございました。

お礼日時：2007/02/20 17:55

No.3 回答者： kkkk2222 回答日時： 2007/02/20 16:59

ｘ対象性

○対称性
ごめん

No.2 回答者： kkkk2222 回答日時： 2007/02/20 16:55

haru84さん

１　あなたが中学生だとしたら、この質問はないでしょう
２　高校生だとしたら
　　＊かなり数学得意と思われます
　　＊対象性より自明と言う人もいると思います
　　　　＊対象性はないがしろにされている
　　　　＊対象性を使いすぎている
　　　　　両方の考えがあります
３　例１　対頂角は等しい　証明必要でしょうか？
　　例２　円に内接する最大面積の四角形は正方形
　　例３　円に内接する最大面積の三角形は正三角形
　　　　例２は先日偶然証明できました
　　　　例３やってみてください、私には無理なようです
　　　　　　　　　　　　　　　　　ＳＥＥ　ＹＯＵ
　　

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。

対称性より自明とも言えるのですね。興味深い例題も加えていただきありがとうございます。奥が深い世界ですね。

お礼日時：2007/02/20 18:12