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現在高校一年の勉強をしているのですがその中で無理数を習っているのですがふと疑問に思いました。無理数は無限につづく少数なのだから数直線上に√2を示すことはできないと思うのですがなぜ示すことができるのでしょうか。無限につづく少数ということは値が確定していないわけでそれを線分として示すことは疑問がわきます。どなたかお教えいただければ幸いです。

gooドクター

A 回答 (9件)

>無理数は無限につづく少数なのだから数直線上に√2を示すことはできないと思うのですがなぜ示すことができるのでしょうか



結論から言いますと無理数は有理数列の極限として存在することになります。つまり、限りなくある数値に近づいていくその極限値ということになりますね。数直線状の√2はこの極限値を示していることになります。具体的には、例えば数直線状の0 と1 の区間を考えます。この区間を2 等分するとその分点として1/2 が得られます。4 等分すると1/4,2/4,3/4,同様に8 等分,16 等分・・・どんどん分割して分点を増やしていくと分点の隙間は0に近づいていきますね。この操作を無限回繰り返した結果、0と1の区間は分点である有理数でビッシリ詰まってきます。しかし,√2や√3 のような無理数はどの分点をチェックしても見当たりません(無理数は有理数のように有限の分数として表すことは無理ですから)。つまり,数直線上には有理数では埋められない穴がいたるところにあるということになりますね。無理数はこの穴を埋めるパテのようなものと捉えることができます。ちなみに有理数は自然数と対応付けて数を数えることができるので可付番無限個あるといいますが,無理数は自然数との対応付けができない程無限(連続無限個))にあることになりますので連続無限個あるといいます。したがって、有理数のビッシリ詰まり具合は無理数に比べてスカスカということになります。
αが任煮のε>0 に対して不等式|α-p/q|<ε/qを成立させる有理数解p/q を持つとき,αは無理数であるといわれます。つまり無理数は有理数列の極限ということになります。
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以下は私なりの解釈ですので正確な定義というものではありませんが、参考にして下さい。



数直線は「点」の集まりでできています。
しかし「点」そのものには長さというものはなく、具体的に点で表せる「有理数」だけをひたすら集めた所でそれはあくまで断続的なものになるのではないでしょうか?
それらの途切れを無理数が埋めていることで、初めて点と点の間ができ、直線となるのではないでしょうか。
1.141 と 1.142 の間には確かに √2 という値が存在することですし。
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この回答へのお礼

初めて点と点の間ができ、直線となるのではないでしょうか。
1.141 と 1.142 の間には確かに √2 という値が存在することですし。
やっとわかりました。ありがとうございます

お礼日時:2007/03/07 00:12

1辺が1cmの正方形の対角線が√2cmですね(^^)。


書けるから計れるんです。数字にするとたいへんなだけ。
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確定していないことと存在しないことを混同してはいけません


2の平方根の値は間違いなく1と2の間のどこかにある実数なのです
ただ線上に正確に示すことが出来ないだけです
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仮に、√2=1.41420 としてグラフに書いたとします。


X軸が1に対してY軸を正の方向に1.41420倍した点と原点を結んだ
直線がそのグラフです。
次に、√2=1.41421 としてグラフに書きます。
さっきのグラフと比べてみるともちろん少しズレています。
そのズレは、Xが1に対してY軸方向に0.00001だけ増えています。
10万分の1です。グラフとしては無視していい数値だと思いませんか。
ボールペンで書いたとしても誤差は吸収されてしまいます。
したがって、肉眼でみているグラフは√2のグラフとしてよさそうです。
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数直線上のすべての点において、有理数で表す事に限界があるという解釈をすれば良いかと思います。

つまり、全ての数値において小数点を含めた10進数で表す事に限界があるわけです。この事から、√2の値が確定しないというわけではなく、小数で表現する場合において、無限小数になってしまい、それが有理数での数値表現の限界です。
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数直線上で√2の位置を決めるのは簡単です


2次元で考えます

0の点から正方向で数直線と45度の方向へ直線を引きます
その直線上の長さ1の点から直交する直線を数直線側に引きます
その直線が数直線と交わった位置が√2の点です

実際に図示する場合、当然誤差が含まれてしまいますが、理論上確定できることはお判りでしょう

質問は、ディジタル表現では、近似値しか表現できないことを失念されているからです
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この回答へのお礼

ディジタル表現では、近似値しか表現できないことを失念されているからです。ものすごくわかりやすかったです。ありがとうございます

お礼日時:2007/03/07 00:16

1/3も点以下無限に続く数ですが図に表すことはできます。

無限に続くからと行って値が確定していないわけではありません。
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この回答へのお礼

無限に続くからと行って値が確定していないわけではありません。
深い言葉です。ただ10進法であらわすと無限になるということなのですね。納得です。ありがとうがざいました

お礼日時:2007/03/07 00:14

それでも、ある程度は解析されていますよね。


1.41421356…


数直線上には
1.41421356 と 1.41421357 は示すことができるので、

その辺ということは、示すことが出来ますね。

つまりその点を仮に√2と見なすわけです。

すると 0 からそこまでの線分は √2の長さと言えるわけです。
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