数学の講師仲間である議論,逆を確かめる必要はあるのか?

こんにちは。高校の数学の講師仲間である議論になりました。
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次の等式が成り立つように，定数a，bの値を定めよ．
lim[x→1](x^2+ax+b)/(x-1)=3
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これを解くのに、
lim[x→1](x^2+ax+b)=lim[x→1]{(x^2+ax+b)/(x-1)}(x-1)
=lim[x→1]{(x^2+ax+b)/(x-1)}lim[x→1](x-1)
=3*0=0
だから、
1+a+b=0
b=-(a+1)を与式に代入して、約分して、
lim[x→1](x+a+1)=3
より、
1+a+1=3
a=1、また、b=-2

ここまでは異論ありませんが、その後、
「逆にa=1、b=-2のとき、与式が成立する」
と逆が成り立つことを書いておく必要があるかないか、議論になりました。
ある人は、書くべきだ、生徒にもそう指導すべきだ、といいます。
ある人は、特に書くべきでない、書くべきというならすべての数値決定問題に書くべきだが実際にはそうなっていない、なぜこの場合だけ特別視して逆を確かめるのか、といいます。

どうなのでしょうか？

No.1 回答者： rinkun 回答日時： 2007/03/08 17:24

ざっと流し読みして書きますが、この場合は必要でしょう。

a,bを求める式変形が同値であることが明らかでない。
従って、与式が成立するために必要なa,bの条件は計算できたが、このa,bで確かに与式が成立することが確認されていないので、これを別に確認する必要がある。

一般的には、数値決定問題では途中で必要条件を計算した場合は十分条件になっていることを別途確かめないと正しくない。
計算が必要十分で行われていれば別途確かめる必要はありません。

No.2 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/03/08 18:14

>lim[x→1](x^2+ax+b)/(x-1)=3

無理方程式の場合のように無縁根があると判っていれば必要ですが、この場合はなさそうです。

右辺の極限(lim)は (x^2+ax+b)が(x-1) で整除できないと有限値になりません。
　(x^2+ax+b)=(x-1)(x+c)
結局、lim[x→1](x^2+ax+b)/(x-1)=lim[x→1](x+c)=3
を解いているに過ぎず、無縁根が潜入する余地はないでしょう。

No.3 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/03/08 18:25

最初の式変形

lim_{x->1}(x^2 + ax + b) = lim_{x->1}{(x^2 + ax + b)/(x-1)}×lim_{x->1}(x-1)

が、lim_{x->1}{(x^2 + ax + b)/(x-1)} の存在を前提としていることに注意を喚起する必要があると思います。

よって得られた結論は「もしlim_{x->1}{(x^2 + ax + b)/(x-1)}が存在するならば、a = 1, b = -2」であるため、a = 1、b = -2 のときに前提である「lim_{x->1}{(x^2 + ax + b)/(x-1)}の存在」を示す必要があるでしょう。

すべての数値決定問題について、今議論が必要十分で推移しているのか、前提を置いて議論しているかを常に意識する必要があります。

高校生の数学講師であれば、そのような数学的厳密性を生徒に認識させる必要があるというのが私の考えです。

この回答へのお礼

>よって得られた結論は「もしlim_{x->1}{(x^2 + ax + b)/(x-1)}が存在するならば、a = 1, b = -2」であるため、a = 1、b = -2 のときに前提である「lim_{x->1}{(x^2 + ax + b)/(x-1)}の存在」を示す必要があるでしょう。

lim_{x->1}{(x^2 + ax + b)/(x-1)}が存在して３であることは、すでに問題文に与えられていると思います。

お礼日時：2007/03/09 09:28

No.4 回答者： take_5 回答日時： 2007/03/08 19:25

必要十分条件である事の確認は、答案としても必要です、

但し、十分条件でもあることの確認は
(1)必要条件として求めたa、bの値を代入して「有限確定値」になる事を確認する。
(2)「有限確定値」を持つためには、分子が(x-1)(x－α)の形になる事が必要十分である、とした上でa、bの値を求める。

の2通りの方法があると思います。
市販の問題集は、あくまで「略解」-必要条件として求め、十分条件でもあることを確認していない-しか書いてないものが多いのですね。
あれでは、高校生は“誤解”してしまいます。

No.5 回答者： adinat 回答日時： 2007/03/08 20:37

極限が存在するためには、不定形極限の形になる必要があるが、しかしながら"1+a+b=0"であれば、必ず極限は有限確定で存在します。

そしてそれが"a+2"になった。で、問題文には極限が3であれ、と言っているのです。したがって"a=1,b=-2"で逆のチェックをする必要はまったくなく、書いてないから減点になるということはありえない。この問は解答の過程で、十分性を自然に説明することになるので、改めて書く必要がないのです。もし、解答をする受験生が、十分性のチェックをすることを意識せず解答していたとしても、それを不備だというのは誤りです。

たとえば軌跡の問題でもそうですが、十分性のチェックをすべきか否か、そしてすべきであったとして、きちんとそれを答案に書く、というのは正直ものすごく学力のいることで、実際には多くの現場で生徒の学力に合わせて臨機応変に対応しているところがほとんどのように思います。であるから、逆の成立をきちんと説明すべきと主張している先生の言にも一理あって、その先生がここまで意識していたかは不明ですが、「逆が自明であるか非自明であるかを考えるのはなかなか面倒なので、いついかなる場合であっても、必要条件から条件を求めた場合は十分性のチェックをすべきだ」という主張になるのではないですか？この場合は自動的に十分性は従うことは明らかなので、答案としては、十分性は明らか、と書くのがこの先生に従った生徒してのパーフェクトな答案でしょう。答案は別に正解がひとつとは限りません。いろんな哲学にしたがった答案があって然るべきで、僕はどちらでもいいような気がしますが、数学があまり得意でない生徒向けということに限れば、常に逆のチェックをしないさい、という方が教育的な気もしないでもありません。僕は絶対にそういう指導はしないですけれども。

この回答へのお礼

ひそかに尊敬する方にご回答いただき光栄です。

lim[x→1](x^2+ax+b)/(x-1)=3
⇔
lim[x→1](x^2+ax+b)/(x-1)=3かつlim[x→1](x^2+ax+b)=0
⇔
lim[x→1](x^2+ax+b)/(x-1)=3かつ1+a+b=0
⇔
lim[x→1](x+a+1)=3かつ1+a+b=0
⇔
1+a+1=3かつ1+a+b=0
⇔
a=1かつb=-2

で同値関係が成り立っているので、あえて逆を確かめることはしなくてよい、というのが僕の考えです。

でも、回答いただいた方でもご意見が割れるように、参考書の模範解答でも意見が割れています。

お礼日時：2007/03/08 23:08

No.6 回答者： y_akkie 回答日時： 2007/03/08 21:31

私も同値性については検証しなくても良いと思います。

これは1 + a + b = 0 のとき、x^2 + ax + bは因数定理により、(x-1)で割り、その商にx = 1を代入すれば求めるべき極限値になる事は保証されています。検証をするにしても、結局はその手順に従って計算して確かめる事になりますし、それが単に方程式となっているだけです。すなわち、極限を求める手順に従って方程式を立ててa,bの解を求めているだけに過ぎないので、あえて逆が成立するかを検証はするまでもないと思います。 また、1 + a + b ≠ 0 の場合は、条件として不適である事が既に確認されています。これらにより、結局は、1 + a + b = 0 と 1 + a + b ≠ 0との場合に分けて、方程式を解いてa,bの値を求め、その結果として、以下のような解が得られたと捉える事ができます。

a = 1 , b = 2　(1 + a + b = 0のとき)
解なし　　　　　(1 + a + b≠0のとき）

もし、検証をしたとしても、それは方程式を解いた後の検算をする事と変わりはないでしょう。

No.7 回答者： fool_ish 回答日時： 2007/03/08 21:53

この問題の場合は，偶然にも分子が x の多項式だから分子の極限 1+a+b が0であれば十分であり，

それは見る人が見れば明らかかもしれないが，
極限を習う生徒にとっても明らかであるとは考えにくい．
特に，教える立場の人間が無言で通せば，「分子の極限が0でありさえすればよいのだ」という誤解を招きかねない．
したがって，まず，指導はきちんと行うべきであろう．

次に書く必要があるかないか，ということだが，
率直に言って模範解答がよろしくない．
どこから必要条件になっているのかが明記されていないのに，
突然「逆に・・・」とやられたら，読み手も面食らうだろう．
一例として，私ならこう書く．x -> 1は省略した．

lim (x-1) = 0だから，lim (x^2+ax+b)/(x-1) = 3であるためには，
lim (x^2+ax+b) = 0 <=> 1+a+b=0
が必要．逆に1+a+b=0ならば，極限値
lim (x^2+ax+b)/(x-1) = lim (x+a+1) = a+2
が存在するから，
lim (x^2+ax+b)/(x-1) = 3 <=> 1+a+b=0かつa+2=3 <=> a=1かつb=-2．

この回答へのお礼

ありがとうございます。

>この問題の場合は，偶然にも分子が x の多項式だから分子の極限 1+a+b が0であれば十分であり，

質問として述べたのは、分かりやすいように多項式でしたが、
分子が無理関数であったとしても、特に逆の確認は不要と思います。

万一、逆を確認して始めて、無縁根だと判明するような極限に関する定数を求める例題があれば教えていただきたいです。たぶん、ないと思いますが。

解答いただいた一例でもいいと思いますが、
＞極限値lim (x^2+ax+b)/(x-1) = lim (x+a+1) = a+2が存在するから，
という部分が蛇足のように思えて仕方ありません。

お礼日時：2007/03/09 14:04

No.8 回答者： sak_sak 回答日時： 2007/03/08 22:28

補足要求です。

質問者様の書かれた
＞lim[x→1](x^2+ax+b)=lim[x→1]{(x^2+ax+b)/(x-1)}(x-1)
＞=lim[x→1]{(x^2+ax+b)/(x-1)}lim[x→1](x-1)
がなぜこの順番で繋がるのかわかりません。
私なら第1式＝第3式＝第2式の順に変形した答案を書きます。
イコールで繋がるものは全て等しいのだから順番は関係無いということなら別ですが…

この回答へのお礼

lim[x→1](x^2+ax+b)
=lim[x→1]{(x^2+ax+b)/(x-1)}＊(x-1)
（２つとも極限値が存在するから、lima[x]b[x]=lima[x]limb[x]の公式が使えるので）
=lim[x→1]{(x^2+ax+b)/(x-1)}＊lim[x→1](x-1)

という意味です。

お礼日時：2007/03/08 23:15

No.9 回答者： mis_take 回答日時： 2007/03/08 23:01

3=lim[x→1](x^2+ax+b)/(x-1)=lim[x→1]{x+a+1+(a+b+1)/(x-1)}

⇔ a+b+1=0 かつ 1+a+1=3
⇔ a=1 かつ b=-2
という答案はどうでしょうか。
問題になるとしたら，一つ目の⇔の「⇒ a+b+1=0」だけだと思います。
ご質問の解答は，この部分を演繹的に示した分，詳しい解答になっていて，これ以上付け加えることはないと思います。
> b=-(a+1)を与式に代入して、約分して、
> lim[x→1](x+a+1)=3
この部分の書き方をもっと必要十分らしく書くと，より良くなるでしょうが。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

lim[x→1](x^2+ax+b)/(x-1)=3
⇔
lim[x→1](x^2+ax+b)/(x-1)=3かつlim[x→1](x^2+ax+b)=0
⇔
lim[x→1](x^2+ax+b)/(x-1)=3かつ1+a+b=0
⇔
lim[x→1](x+a+1)=3かつ1+a+b=0
⇔
1+a+1=3かつ1+a+b=0
⇔
a=1かつb=-2

で同値関係が成り立っているので、あえて逆を確かめることはしなくてよい、というのが僕の考えです。

でも、回答いただいた方でもご意見が割れるように、参考書の模範解答でも意見が割れています。

お礼日時：2007/03/08 23:16

No.10 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/03/09 01:49

最初の質問にあった解答と、お礼に書かれている解答が異っていることが非常に気になります。

質問の意図は、最初に挙げた解答で、逆を確かめる必要がある、すなわち論理展開に瑕疵があるのでは？ということだと思って解答したのですが残念です。

この回答へのお礼

特に、最初の質問にあった解答と、お礼に書いた解答が異っているとは思っていません。

最初の質問にあった解答は、模範解答的で、
お礼に書いた解答は、頭の中の解答的、それだけの違いだと思います。

お礼日時：2007/03/09 09:32