A 回答 (2件)
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No.1
- 回答日時:
ここでの数列とは実数列のことですよね??(^^;)
任意のε>0に対してある十分に大きな自然数n0 が存在して、
m, n ≧n0 ならば| an -am|<εとなるとき、
数列{an}をコーシー列と呼ぶことにします。
すると、数列{an}が収束列になることと
数列{an}がコーシー列となることが同値であることを
示せばよいということになります。
収束列ならばコーシー列となることは、ほぼ明らかです。
(∵lim an = a とすると|an -am|≦|an -a|+|a -am|であるから)
で、問題はコーシー列ならば収束列となることの証明ですが、
とても、大雑把にいうと、
数列{an}をコーシー列とすると、数列{an}は有界となります。
数列{an}は有界であるから、数列{an}は収束する部分列を持ちます。
部分列の極限をaとするとiを十分大きくとれば、
|a_n_i - a|はいくらでも小さくできます。
あとは、|a_n - a|≦|a_n - a_n_i|+|a_n_i - a|であるから、
a_nが収束列であることがわかります。
以上の話をε-N論法で書けば証明になると思います。
No.2
- 回答日時:
必要条件はan→aならば、|an-am|=|(an-a)-(am-a)|≦|an-a|+|am-a|
を使えばできます。
十分条件は実数の連続性を前提にしますが、n0≦n,mならば|an-am|<ε
とすると、m=n0に固定すると、|an-an0|<εとなって、n0≦nなるnにつ
いてはanはan0のε近傍に入って、数列anは有界ということがわかりま
す。ここで実数の連続性を使いますが、ボルツァノ・ワイエルシュトラ
スの定理により、anは集積点を持ちます。そして、集積点がただ一つ
ならば、anは収束列であることになります。なぜならば、収束列が集積
点を2つ以上持つとすると、これらの集積点の近傍に入るanが無限個
あることになり、収束の条件に反するからです。いわば一つの点に収束
しなくなってしまう。そして集積点がただ一つならば、有限個の点を
除いてこの集積点の近傍に入り、anは収束列であることになります。
(このただ一つの集積点の近傍から外れるanが無限個あると、これらの
anが集積点をもち、別の集積点をもってしまう。)
ただ一つの集積点をもつことの証明ですが、背理法によりまして、集積
点が2個以上あったとして、そのうちの2つをaとbとし、aに収束する部
分列をa'n、bに収束する部分列をa''nとすると、
|a-b|=|-(a'n-a)+(a''m-b)+(a'n-a''m)|
≦|a'n-a|+|a''m-b|+|a''n-a''m|
n,mを十分大きくとると、
|a-b|≦ε+ε+|a''n-a''m|=2ε+|a''n-a''m|
|a''n-a''m|≧|a-b|-2ε
ここで、ε=|a-b|/4にとっておいたとすると、
|a''n-a''m|≧|a-b|/2
a≠bだから|a-b|/2>0であり、これはコーシーの収束条件に反する。
よって、anはただ一つの集積点をもち、したがって収束列である。
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