線形代数学 逆行列 証明 性質

線形代数学の証明がわからないので解いていただけないでしょうか？

A^2=Aならば、A=EであるかまたはAは正則行列ではない。

というものです。
お願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2007/05/11 22:05

AがEではなく，かつ，正則であるとする．

A^2=Aとすると，
A^{-1}を左から作用させて
A^{-1}A^2=A^{-1}A
A=E
これはA=Eではないことに反する．
よって，
A^2はAではない．
対偶をとれば証明終わり

この回答へのお礼

すばやい回答ありがとうございます。
僕は学校からこのお礼を送っているので、
お礼が遅れてすみませんでした。
本当にありがとうございました。

お礼日時：2007/05/14 16:24

No.3 回答者： adinat 回答日時： 2007/05/11 20:23

行列環は整域ではないので、ANo.1の方のようにやってはダメです。

もう少し具体的にいうと、因数分解して、A(A-E)=Oまではよいですが、これからA=OまたはA-E=Oとはできません。というのは行列には零因子というものがあり、零行列でない行列同士をかけて零行列になることがあるからです。

こういうときは場合わけをして回答すればいいのです。Aが正則だとすると、Aは逆行列を持ちます。A^{-1}を与えられた等式の両辺にかけてみましょう。Aが正則でない場合はどうするか。って、そんなときは何の考察もしなくてよいよ、というのがこの問題ですね。

No.2 回答者： noname#30820 回答日時： 2007/05/11 20:18

A^2=Aであるとき、Aが正則行列であるならば、逆行列A^(-1)が存在する。

よって、Aが正則行列であれば、A^2=Aのとき、A^(-1)を式の両側に掛けると、A=Eとなるので、Aが正則行列であれば、A=Eであり、そうでないならば、Aは正則行列ではない。

というのではいけませんか？

No.1 回答者： N64 回答日時： 2007/05/11 20:06

A^2 - A = [0]

A ( A - E ) = [0]
A =[0] or A = E
では、だめでしょうか？