線形代数の問題で質問です。どなたか以下の問題をお教えいただけませんでし

線形代数の問題で質問です。どなたか以下の問題をお教えいただけませんでしょうか。
よろしくお願いします。


問題　ｍ次複素正方行列　A　＝　（aij）、ｎ次複素正方行列　B　＝　（ｂkl）、　ｍ×ｎ複素行列　　　　C　＝　（ｃil）　が与えられたとき、ｍ×ｎ複素行列　X　＝　（ｘil）　に対する方程式
　　　　　　　　　　　　　　　AX－XB＝C
　　　を考える。
　　　ただし、aijは行列Aのi行j列の成分を表す。bkl、cil、xilも同様とする。
　　　このとき以下の質問に答えよ。

　　　
　　　１、　行列A、Bがそれぞれ上三角行列の場合、任意の　i　＝　１、２、・・・、ｍ　　と　　ｋ　　　　　　＝１、２、・・・、ｎ　　に対して、
　　　　　　aii 　＝　bkk　が成立するなら、行列Xが一意に定まることを示せ。

　　　
　　　２、　一般に、行列Aと行列Bが共通の固有値を持たないならば、行列Xは一意に定まることを示　　　　　　　せ。
　　　　　　ここで、適当な正則行列U、Vが存在して、UAU＾、VBV＾がそれぞれ上三角行列になるとい　　　　　　う事実を用いてよい。ただし、U＾とV＾は、それぞれUとVの逆行列を表す。


　　　３、　ｍ＝ｎとする。行列Aを対角化可能、行列Cをエルミート行列とし、
　　　　　　　　　　　B＝－A※
　　　　　　と選ぶ。
　　　　　　このとき、行列Xが一意に定まる場合、X＝X※であることを示せ。ここで、A※とX※はそれ　　　　　　ぞれ行列AとXのエルミート共役をあらわす。

No.1 回答者： muturajcp 回答日時： 2010/08/13 13:32

AX-XB=((Σ_{k=1～m}a_{i,k}x_{k,j}-Σ_{k=1～n}x_{i,k}b_{k,j})_{j=1～n})_{i=1～m}=C

1.
行列A、Bがそれぞれ上三角行列の場合,
任意のi=1～mとk=1～nに対して、
[aii=bkk　が成立するなら、行列Xが一意に定まる]は誤りで
[aii≠bkk　が成立するなら、行列Xが一意に定まる]が正しい
A上三角行列だから k<i　のとき　a_{i,k}=0
B上三角行列だから k>j　のとき　b_{k,j}=0
AX-XB=((
(a_{i,i}-b_{j,j})x_{i,j}-Σ_{k=1～j-1}b_{k,j}x_{i,k}+Σ_{k=i+1～m}a_{i,k}x_{k,j}
)_{j=1～n})_{i=1～m}
=C=((c_{m,n})_{j=1～n})_{i=1～m}

a_{m,m}≠b_{1,1}
x_{m,1}=c_{m,1}/(a_{m,m}-b_{1,1})
x_{m,1}が一意に定まる
1≦k<nに対して(x_{m,j})_{j=1～k}が一意に定まっていると仮定すると
a_{m,m}≠b_{k+1,k+1}
(a_{m,m}-b_{k+1,k+1})x_{m,k+1}-Σ_{j=1～k}b_{j,k+1}x_{m,j}=c_{m,k+1}
x_{m,k+1}が一意に定まるから
(x_{m,j})_{j=1～n}が一意に定まる
1≦k<mに対して((x_{m-i+1,j})_{j=1～n})_{i=1～k}が一意に定まっていると仮定すると
a_{m,m}≠b_{k+1,k+1}
(a_{m-k,m-k}-b_{1,1})x_{m-k,1}+Σ_{i=m-k+1～m}a_{m-k,i}x_{i,1}=c_{m-k,1}
x_{m-k,1}が一意に定まる
1≦l<nに対して(x_{m-k,j})_{j=1～l}が一意に定まっていると仮定すると
a_{m-k,m-k}≠b_{l+1,l+1}
(a_{m-k,m-k}-b_{l+1,l+1})x_{m-k,l+1}-Σ_{j=1～l}b_{j,l+1}x_{m-k,j}+Σ_{j=m-k+1～m}a_{m-k,j}x_{j,l+1}=c_{m-k,l+1}
x_{m-k,l+1}が一意に定まるから
(x_{m-k,j})_{j=1～n}が一意に定まるから
行列X=((x_{i,j})_{j=1～n})_{i=1～m}が一意に定まる

2.
UAU^、VBV^がそれぞれ上三角行列になる正則行列をU、Vとすると
(UAU^)(UXV^)-(UXV^)(VBV^)=UCV^
UAU^=((a'_{i,j})_{j=1～m})_{i=1～m}
VBV^=((b'_{i,j})_{j=1～n})_{i=1～n}
上三角行列の対角成分は固有値だから
(a'_{i,i})_{i=1～m}はUAU^の固有値
(b'_{k,k})_{k=1～n}はVBV^の固有値
共通の固有値を持たないから
任意のi=1～mとk=1～nに対して、
a'_{i,i}≠b'_{k,k}
だから
行列UXV^が一意に定まるから
行列X=U^(UXV^)Vが一意に定まる

3.
B=-A※
AX-XB=AX+XA※=C
C※=C
C※=(AX+XA※)※=(AX)※+(XA※)※=X※A※+AX=AX+X※A※=C=AX+XA※
X※A※=XA※
(X※-X)A※=0
|A※|=0の場合|B|=|A|=0となり
行列Xが一意に定まらないから
|A※|≠0
だから逆行列(A※)^が存在するから
0=(X※-X)A※(A※)^=X※-X
∴
X※=X