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こんにちは。
私は現在中学3年生に数学を教えている者です。

前回の授業で因数についての話をしたところ、生徒から「因数と約数の違いは何ですか?」と聞かれ、即答できなかったので、宿題にさせてもらいました。

ですが、自分では調べることができなく、困っています。
どなたか「因数と約数との違い」を教えてください。

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A 回答 (5件)

多項式で最大公約数GCDは変です。

最大公約式GCFが適切です。因数分解や因数定理などは多項式の話ですから、話を数(整数または自然数)に限定します。

factorと呼んでもdivisorと呼んでも本質は同じです。

数学と言うよりも意味論の世界です。
明けの明星と宵の明星はシニフィエとして同じです。

言葉には<連想>が伴います。
約数には<約分、公約数、倍数、割り算・・・>
因数には<積、構成要素、基本要素>

素因数分解で始めて、(因数)に出会います。
数だけ扱うのに(因数)は不要です。
約数だけで充分です。
PrimeFactor、IntegerFactorizationの訳語でしょう。
日本語の(因数)は日常用語ではありませんが、英語のFactorは日常用語です。(純粋理性批判は日常用語で書かれていると聞いた覚えがあります。)。日本語でさへFactorの方が耳にします。
素約数分解で良かったと思います。

3は12の因数と言っても正しいです。
でも生徒を混乱させるのを回避します。
高校生になると(個人差はありますが)違和感は減少します。
個人的には違和感はありません。

>>因数と約数の違いは何ですか
生徒への説明は貴殿の考え方次第です。
私なら<同じだけど状況により使い分ける。>でしょうか。
<状況により使い分ける。>というのは日常世界では常に起きる事項なので納得してくれると・・・
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こんにちは。



数学で一番肝心なのは「定義」です。

「約数」に関しては明確な定義があると思うのですが…。
自然数に対して、その数を割り切ることができる正の整数
ぐらいの感じだったでしょうか?

因数というのは、数を積の形に表したときの各要素のことでいいのではないでしょうか?
実数だけでなく、虚数も因数の積で表すことってありますよね。

約数は数の性質?としての定義づけであり、
因数というのは、数や数式を積の形で表せたときに、
便宜上つけている名前みたいな…。

2=2*1 (2と1はそれぞれ2の因数であり、また約数でもある)  
2=4*(1/2) (4と1/2は、2の因数であるが、約数ではない)
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因数と約数は違います。

例えば、「3×4の因数(factor)」というのは、12=3×4という掛け算の式で表したとき、右辺の掛け算の式を構成する、3と4のことをいうのです。ですから、掛け算の式で表されていないときには、因数という用語を使うことはできません。一方、「12の約数(divisor)」というのは、12を割り切る数です。
因数と約数は意味が似ていますが、使い方が違います。
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同じものでしょう どちらかといえば整数については約数をよく使い 整式や多項式には因数を使いますが、整数でも素因数分解などといい 多項式でも 最大公約数など使ってます。


ただ、約数の中で素数は素因数といいますね。
多分この感じで使い分けているのではないでしょうか? 同じ事だと思います。
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素因数といいますが素約数とは言いませんね。



呼び方は違いますが内容は同じものですね。
約数と因数は整数と整式(文字変数を使った多項式)の両方に使われますが、用途によって使い分けたり、同じ意味で使ったりですね。
約数と倍数はセットにして使われますが、そこに「因数分解(素因数分解)」という言葉が突如出てくるから混乱するわけですね。因数と約数は同じものですが、約数分解とは言わないですから。

約数・倍数・因数分解http://www.morinogakko.com/classroom/sansu/su/su …

約数
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%84%E6%95%B0

因数(いんすう)
ttp://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/suu-to-siki/suu/innsuu.html
http://www.suriken.com/knowledge/glossary/factor …
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Q約数と因数の違い(∈N)

中学校3年で「素因数分解」が教科書に出てきます。
教科書では「因数」「素数」「素因数分解」の順に説明されています。「因数」と小学校で習う「約数」の違いは何ですか?
ほとんど同じなのかと思いますが、「因数」の方は1およびもとの数を含まないのかな??と思ったのです。
だって多項式の因数分解の話では(x^2+2x+4)は実数の範囲では「因数分解できない」っていいますよね。

どなたか正確なところをご存知でしたら教えてください。また出典も教えていただければ幸いです。

Aベストアンサー

laminaeさん、こんにちは。

参考URLに詳しい説明が載っているのですが、
たとえば7の因数は、7だけで、1つです。
約数は、7=1×7なので、1と7の2個です。
30の因数は、
30=2×3×5
と素因数分解できますから、2と3と5の3種類なので、因数は3個。
しかし、約数は、いっぱいあります。
1,2,3,5,6,10,15,30
これ、みんな30の約数ですね。

約数とは、ある整数aが整数bで割り切れるとき、
この整数bを整数aの約数、といいます。
30÷1=30
30÷2=15
30÷3=10
と、どれも割り切れて余りが出ないので、1も2も3も30の約数だ、というわけです。

さて、約数は、どんどん細かく分けることができます。
たとえば、
80÷16=5
なので、16と5はともに80の約数で
80=16×5
また、16=4×4
なので、
80=4×4×5
4=2×2なので
80=2×2×2×2×5
のように分解できます。
もう、これ以上には、分解できませんね。

このように、「もうこれ以上分解できない」状態を
素因数分解された状態といいます。
このとき、80を素因数分解している数字の種類は
2(が4個)と5(が1個)ですね。
この2種類を、80の因数といいます。
80の因数は、2と5、といえます。

約数は、もっといっぱいありますよ。
1,2,4,5、8,10,16、20、40、80
これ、全部、80の約数ですね。

こういう感じです。ご参考になればうれしいです。

laminaeさん、こんにちは。

参考URLに詳しい説明が載っているのですが、
たとえば7の因数は、7だけで、1つです。
約数は、7=1×7なので、1と7の2個です。
30の因数は、
30=2×3×5
と素因数分解できますから、2と3と5の3種類なので、因数は3個。
しかし、約数は、いっぱいあります。
1,2,3,5,6,10,15,30
これ、みんな30の約数ですね。

約数とは、ある整数aが整数bで割り切れるとき、
この整数bを整数aの約数、といいます。
30÷1=30
30÷2=15...続きを読む

Q素数と因数とは何ですか?

質問のタイトル通りなのですが、素数と因数とは何ですか?
この先習うと思うんですが、出来れば今すぐ知りたいので…
本を見ても言い方が難しくよく分かりません。
簡単にで良いのでよろしくお願いします。

後、因数分解のやり方も良ければお願いします。

Aベストアンサー

SARASA13さん、こんにちは。

>素数と因数とは何ですか?

素数というのは、1と、その数以外で割り切れないような
正の整数のことです。
たとえば、2=1×2 と1と2しか約数がないので素数。
3=1×3
5=1×5
・・・
あと、7,11,13・・・と続いていきますが、
このように1とその数以外の約数を持たないものを言います。

それに対して、因数とは、ある数の約数のことです。
たとえば、10=2×5となりますので
2も5も、10の因数といえますね。
このように、素数の積に分解することを、素因数分解と言います。

http://www.shinko-keirin.co.jp/sansu/WebHelp/6nen1/61_05.htm



これに対して、因数分解とは、共通の項をくくりだすことです。

http://www.kgc.keio.ac.jp/sugakuka/3nen/insu.html

因数分解では、必ずしも整数を分解するとは限らないですね。
整式を分解することもありますね。

x^2-y^2=(x-y)(x+y) のように分解します。

ご参考になればうれしいです。

参考URL:http://www.hokuriku.ne.jp/fukiyo/math-obe/sosuu.htm

SARASA13さん、こんにちは。

>素数と因数とは何ですか?

素数というのは、1と、その数以外で割り切れないような
正の整数のことです。
たとえば、2=1×2 と1と2しか約数がないので素数。
3=1×3
5=1×5
・・・
あと、7,11,13・・・と続いていきますが、
このように1とその数以外の約数を持たないものを言います。

それに対して、因数とは、ある数の約数のことです。
たとえば、10=2×5となりますので
2も5も、10の因数といえますね。
このように、素数の積に分...続きを読む

Q因数ってなんでしょうか?

因数がよくわからないので教えてもらいたいです。

7の因数は1つ、30の因数は3つ、462の因数は3つ。

どういう理由でそれらの因数の数が出るのでしょうか?

Aベストアンサー

またまたstomachmanです。今度はきっちり用語を調べましたよ。(最初の回答と重複しますがご容赦あれ。)

(1)かけ算において「因子(いんし)」「因数」「約数」はみんな同じ意味です。
 ある数が、別の数で割り切れるとき、この「別の数」の方を指して「因子」とか「因数」とか「約数」と呼ぶのです。
従って、「ある数」が30ならば、30の因数は(自然数1,2,3,・・・だけに限って言えば)
1,2,3,5,6,10,15,30の8個あることになります。

*なんで、かけ算の話なのに「割り切れる」が出てくるか?(念のためですけど)
 それは、かけ算の反対はわり算だからですね。具体的には「30が5で割り切れる」というのは、式で書けば
30÷5=6(余り0)
ですが、これは
30=6×5
というのと同じ事だからです。

(2)もしどうしても「30の因数は3個だ」と参考書にでも書いてあるのであれば、その本は言葉を間違って使っています。この場合「因数」ではなく、「素因数(そいんすう)」が正しい用語です。「素因数」とは「因数のうちで、素数であるもの」のことです。
 「素数(そすう)」というのは(ご存知でしょうが)「1とその数自身以外に因数がないような数(ただし1と0は除く)」のことで、
2,3,5,7,11,13,17,19,23,....
と無限個あります。(また、素数でない数は「合成数」と言います。)
 どんな数も素数だけのかけ算で表すことができ、その表し方は1通りしかありません。この表し方のことを「素因数分解」といいます。
 だから、30を素因数分解すると
30=2×3×5
であり、30の素因数は2と3と5ですね。他に素因数はありません。
 さらに、1を除く因数は全て、素因数か、素因数同士のかけ算になります。実際、この例では、1以外の因数のうち素因数でないものは6,10,15,30であり、それぞれ素因数2,3,5を使って
 6=2×3
10=2×5
15=3×5
30=2×3×5
と表せますね。これらの因数は素因数のかけ算で表せる合成数なのです。

またまたstomachmanです。今度はきっちり用語を調べましたよ。(最初の回答と重複しますがご容赦あれ。)

(1)かけ算において「因子(いんし)」「因数」「約数」はみんな同じ意味です。
 ある数が、別の数で割り切れるとき、この「別の数」の方を指して「因子」とか「因数」とか「約数」と呼ぶのです。
従って、「ある数」が30ならば、30の因数は(自然数1,2,3,・・・だけに限って言えば)
1,2,3,5,6,10,15,30の8個あることになります。

*なんで、かけ算の話なのに「...続きを読む

Q因数とは?

非常に低レベルの質問で申し訳有りません。
今なんとなく数学の勉強をしています。高校を中退してから4年ほど経ってるのでさっぱりな状態です。

2006年度の明海大学の問題です。
(x^2+4x-4)(x^2+4x-5)-56の因数は何かという問題です。
答えはx-2らしいのですが、これはどういうことでしょうか?

一応
x^4+8x^3+7x^2-36x-36
と展開してみたのですが、これをどう答えに結びつけていいのかわかりません。

教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

因数分解とは、数学において整式をいくつかの整式の積で表す方法の事で、因数分解がなされた時に、それぞれの整式を因数といいます。

と言うわけで、(x^2+4x-4)(x^2+4x-5)-56 を因数分解してみれば良いわけです。置き換えで因数分解すると楽です。

x^2+4x-4=Aと置く
与式=A(A-1)-56
  =A^2-A-56
  =(A+7)(A-8)
  =(x^2+4x+3)(x^2+4x-12)
  =(x+1)(x+3)(x+6)(x-2)……これら4個の整式が因数です

Q因数の定義

中学生の数学の問題を作っており、困っております。


例えばx(x+1)(x+1)の因数は?に対し、
x,x+1,x+2の他にも、x(x+1),x(x+2),(x+1)(x+2),x(x+1)(x+2)は答えになるでしょうか?


また(x+1)^3の因数は、(x+1)の他にも(x+1)^2,(x+1)^3も答えになるでしょうか?

また、12の因数の場合、答えは12の約数(1,2,3,4,6,12)でよろしいでしょうか?

因数の厳密な定義をご存知の方、よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

因数は、対象となる数字または多項式を積に分解したときの
1つ1つの要素です。

数学的(哲学的)には因数は“存在”するのでしょうけど、
表示上の問題と考えるとよいかもしれません。

例えば、12=3×4
と表示できるので、3や4は12の因数です。
同様に、12=1×12
と表示できるので、1や12も12の因数です。
この意味で、12の約数はすべて12の因数です。 ※

12=(-2)×(-6)
とも表示できるので-2と-6も因数です。  ※



>例えばx(x+1)(x+1)の因数は?に対し、
>x,x+1,x+2の他にも、x(x+1),x(x+2),(x+1)(x+2),x(x+1)(x+2)は答えになるでしょうか?
>また(x+1)^3の因数は、(x+1)の他にも(x+1)^2,(x+1)^3も答えになるでしょうか?
答えとしてよいと思います。



※ ただし、因数分解の範囲を十分に考慮しなければなりません。
  素因数分解の一意性を保ちたいのであれば、
   12=1×12=1×2×2×3
  という表示はこのましくないでしょうし、
  負の約数も考えてはいけないのでしょう。
  また、たとえば、複素数まで範囲を広げれば、
   12=(2+2√2i )(2-2√2i)
  のようにもかけますので、12の因数は無数に存在することになります。

  このように、因数の定義はかなりシビアなところがありますので、
  中学校ではその厳密な議論を避けるべきです。
  したがって、たとえば“12の因数は?”“12の因数の個数は?”というような
  “因数の定義”に根差した問題は、
  中学生にはふさわしくないものと私は思います。

因数は、対象となる数字または多項式を積に分解したときの
1つ1つの要素です。

数学的(哲学的)には因数は“存在”するのでしょうけど、
表示上の問題と考えるとよいかもしれません。

例えば、12=3×4
と表示できるので、3や4は12の因数です。
同様に、12=1×12
と表示できるので、1や12も12の因数です。
この意味で、12の約数はすべて12の因数です。 ※

12=(-2)×(-6)
とも表示できるので-2と-6も因数です。  ※



>例えばx(x+1)(x+1)の因数は?に対し、
>x,x+1,x+2...続きを読む


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