No.3ベストアンサー
- 回答日時:
t秒後の水の体積vは
v=3t[cm^3]…(A)
ですね。
この時の水面の高さをh[cm]とすると水が溜まった部分の体積Vは
直円錐の容器の体積V
V=2000π/3[cm^3]
との相似比の3乗に比例することから
v/V=(h/20)^3
これから
v=(V/8000)h^3=(π/12)h^3[cm^3]…(B)
となりますね。
(A)と(B)が等しいことから
(π/12)h^3=3t
h^3=(36/π)t…(C)
h=6[cm]の時のt[秒]は
36*6=(36/π)tから
t=6π[秒]…(D)です。
(C)から
h={(36/π)^(1/3)}*t^(1/3)
水面上昇速度:
dh/dt=(1/3){(36/π)^(1/3)}*t^(-2/3)
(D)のtを入れて計算してください。
水面の上昇加速度:マイナスです…これは水面の上昇速度が減少していくことを表します。
d^2(h)/dt^2=-(2/9){(36/π)^(1/3)}t^(-5/3)
(D)のtを入れて計算してください。
No.2
- 回答日時:
1週間ほど前に似たような問題がありますので、まずはこれを参照してください。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3085444.html
ここでは、その後から、速度と加速度を求める式を導いて見ます。
> いま、t[秒]間水を注ぎいれて、水の表面が底からx[m]に達しているとします。
> このとき、溜まった水の形状と円錐型容器は相似関係になり、その相似比は x:h になっています。
> 体積の比は、長さの比の3乗になりますので、x^3:h^3 です。
> したがって、このときの水の量について次の式が立てられます。
> (水の量):mt=πhr^2/3×(x/h)^3
> x^3=3mt/π・(h/r)^2 ・・・・(A)
∴x={ 3mt/π・(h/r)^2 }^(1/3)
t=x^3・π/(3m)・(r/h)^2
式(A)の両辺を微分して、速度を求めます。
3x^2・dx/dt=3m/π・(h/r)^2
∴dx/dt=m/π・(h/r)^2/x^2 ・・・・(B)
=m/π・(h/r)^2/{3mt/π・(h/r)^2}^(2/3)
=(t/3)^(2/3)・{m/π・(h/r)^2}^(1/3) ・・・・(C)
次に、これをさらにtで微分して加速度を求めます。
d^2 x/dt^2=(2/9)(t/3)^(-1/3)・{m/π・(h/r)^2}^(1/3)
=(2/9)・3^(1/3)・{m/π・(h/r)^2}^(1/3)/ x/{ π/(3m)・(r/h)^2 }^(1/3)
=(2/9)・{3m/π・(h/r)^2}^(2/3)/x ・・・・(D)
あとは、式(B)と式(D)に数値を入れて求めてください。
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