コップ型の体積

円錐の頂点側を途中で切り取った、いわゆるコップ型の体積を求める式を教えてください

底面と上面は平行です

底面・上面の円の面積、高さは測れます

大きな水瓶（100リットル以上の容量がありそう）が、具体的にどのくらいの容量があるのかを知りたいのです

No.1 ベストアンサー 回答者： lazydog1 回答日時： 2013/04/15 12:00

　コップ型で、底面と上面の半径が分かっているなら、以下に記載されている公式求められます（計算してくれますが）。

http://keisan.casio.jp/exec/system/1165885957

　底面積と上面積からであれば、以下の角錐台の公式を使うといいでしょう（円錐台と公式は同じです）。

http://keisan.casio.jp/exec/system/1297148365

この回答へのお礼

解決しました

約200リットルでした

ご回答ありがとうございました

お礼日時：2013/04/20 14:53

No.3 回答者： spring135 回答日時： 2013/04/15 12:31

円錐の頂点側を途中で切り取った、いわゆるコップ型の体積は元の大きい円錐の体積から上の切り取られる円錐の体積を引き算して求めます。

まず図を書いてみてください。

この場合、元の大きい円錐の高さHと切り取られる円錐の高さhをコップの深さhcから求めるという作業が入ります。元の大きい円錐の底面の半径はコップの大きいほうの半径（つまり底でなく開口部です）Rと同じです。切り取られる円錐の半径はコップの小さいほうの半径（つまり底です）ｒと同じです。


この時

r/h=R/H

H=h+hc

これらの式から

h=rhc/(R-r), H=Rhc/(R-r) (1)

コップの体積Vcは大きい円錐の体積から小さい円錐の体積を引くということから

Vc=π・(R^2)・H/3-π・(r^2)・h/3

(1)を代入して

Vc=π・hc・(R^3-r^3)/(R-r)/3

公式

R^3-r^3=(R-r)(R^2+Rr+r^2)

を用いると

Vc=π・hc・(R^2+Rr+r^2)/3



もし上底面の面積Su,下底面の面積Ssを測定したというのであれば

Su=πR^2, Ss=πr^2

√(Su・Ss)=πRr

従って

Vc=hc(Su+Ss+√(Su・Ss))/3

No.2 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2013/04/15 12:10

ふたつの円錐の体積の差を求めればよいです。

　面倒くさいので
　⇒円錐台( http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E9%8C%90% … )
　をご覧ください。