No.6ベストアンサー
- 回答日時:
ANo.3の補足に対してお答えします。
S = (3a/b)・(dV/dp)
の意味するのは
表面積は,必ず体積をパラメータで微分した値の整数倍になる
ということではなく、
体積をパラメータで微分した値の3a/b倍になるということであって
たまたまその倍率の中に3が因子として含まれているだけと言うことに
なります。どの立体に対する倍率も3次元で3を因子として持ち、
これに形状に関する因子a/bが加わったもので自然とも言えるのでは
ないでしょうか。
また、SとdV/dpの関係は正しくは
S = (b/(3a・r))・(dV/dp)
で、rが任意に設定できることからANo.3ではb/(3a・r)が1になるように
rを設定してS = dV/dpを導いています。
rを設定すると言うことは、pとして例えば立方体であれば
1辺の長さを採るか対角線の長さを採るかに対応しています。
またはpの長さの単位としてmやcmを採ることに対応します。
No.5
- 回答日時:
申し訳ありません、
ANo.3で間違いがあります。
「どんな値の表面積にでもなるようにできます」
は誤りで、
最小限度以上と言う制限が付きます。
また、逆の場合つまり表面積の値を指定した場合も
最大限度以下と言う制限が付きます。
No.4
- 回答日時:
純金は非常に展性が高く、ごく少量で膨大な大きさの箔を作ることができるそうです。
1グラムの金を箔にした場合と、球体にした場合を考えて見ましょう。この回答への補足
解答ありがとうございます.
しかし,質問文を読んでいただければわかるかと存じますが,
別に体積だけの情報を与えて,それから表面積を求めさせようとしているわけではありません.
ある立体の形状をを先に既定し,それに対する体積と表面積の関係を質問したわけです.
当然その立体の形状が球であれば,微分・積分の関係ですが,
それが任意だった場合を問うているわけです.
No.3
- 回答日時:
※QNo.4127875にて類似した問題に解答していますのでこちらも参考になると思います。
こちらでは体積を微分すると表面積になる立体の条件がどのようなものか質問しています。
一般的な形状に対しては体積と表面積には何の関係もないと言えるでしょう。
例えば、体積をある値に指定したとき、適当な立体を考えればどんな値の表面積にでもなるようにできます。つまり、体積を決めたからと言って表面積が決まる訳ではないのです。逆も言えます。
ただし、形状を決めるパラメータが1つのみの場合を想定すると体積と表面積には関係が生じます。球や立方体の場合がこのような例です。
形状を決めるパラメータを1つのみとするのは球や立方体などと言った特別な形状に限定される訳ではなく、形状としては任意のものを想定できます。つまり、任意の形状のものに対してパラメータが1つのみになるような変形を考えるのです。このような変形として相似変形があります。サイズの異なる球や立方体は相似変形の関係にあります。
このような変形に限定した上でなら体積と表面積の関係が得られます。
任意の形状に対して体積V、表面積Sは
V=a(r・p)^3
S=b(r・p)^2
ただし、
a、bは形状によって決まる定数
pは対象となる立体のサイズを決めるパラメータ
rはa、bに対応して任意に設定できる定数(パラメータに対する比率)
と書けます。
例えば立方体では
pとして1辺の長さを採ればa=1/r^3、b=6/r^2、r:任意
pとして中心を通る対角線の長さを採ればa=1/(3^(3/2)r^3)、b=2/r^2、r:任意
とできます。
先のS、Vの式から(r・p)を消去すれば
V=a・(S/b)^(3/2)
が得られます。
また、rを適当に設定すればVをpで微分してSが得られるようにする事もできます。
dV/dp=3ar^3・p^2
これがS=b(r・p)^2に等くなるために
3ar^3・p^2=b(r・p)^2
これから
r=b/(3a)
この回答への補足
解答ありがとうございます.大変参考になりました.
一つ疑問に思ったので質問させてください.
この説明ならば,
dV/dp = dV/dp=3ar^3・p^2
となるわけですから,
S = (3a/b)・(dV/dp)
という関係が成り立つはずです.
即ち,任意の立体において,
表面積は,必ず体積をパラメータで微分した値の整数倍になるということです.
これって本当でしょうか? 証明することはできますか?
ぜひ,教えてください!
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