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半径1の球に外接する直円錐の体積Vがあります。

(1)
直円錐の高さをxとおくとき、Vをxで表すとどうなりますか。

(2)
また、体積Vの最小値を求めなさい。


解答例を教えてください。

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A 回答 (3件)

円錐の軸を含む断面で考える。

図の如く記号を置く。
△ABCと△AOTの相似から、BC : AC = OT : AT.
すなわち、r : x = 1 : √((x-1)^2 - 1^2).
よって、r = x / √(x^2 - 2x) である。
円錐の体積は、V = (πr^2)(x/3) = (π/3)x^2 / (x - 2) となる。

点Aは、Cから幾らでも遠ざけることができるが、
球面上よりもCに近づけることはできない。
したがって、x の変域は、x > 2 である。

V の値域を調べるには、x = 2 + y と置くと見やすい。
V = (π/3)(y + 4/y + 4) ただし y > 0 となる。

相加相乗平均の関係より (y + 4/y) / 2 ≧ √(y・4/y)(等号は y = 4/y のとき)
であるから、V ≧ (π/3)(2√(y・4/y) + 4) = (8/3)π(等号は y = 2 のとき)
と解る。

数I の問題だから、微分は使わない。
「微分法で」の回答画像3
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解答例は質問者の方で作るようにして下さい。



やり方だけ。
R:底面の半径、L:直円錐の母線の長さ、r:球の半径(=1)とすると
以下の関係が成り立つ。
(x-r)/r=L/R, r=1
x-1=L/R
∴L=(x-1)R …(A)

また三平方の公式から
x^2=L^2-R^2 ←(A)を代入
={(x-1)^2-1}R^2=x(x-2)R^2
∴R^2=x/(x-2)

体積V=(πR^2)x/3=(π/3)x^2/(x-2) (ただしx>2) ←(1)の答え

V=(π/3){x+2+4/(x-2)} (x>2)
dV/dx=(π/3)x(x-4)/(x-2)^2

x=4で dV/dx=0
2<x<4で dV/dx<0
x>4で  dV/dx>0

x=4で最小値V=(π/3)16/(4-2)=8π/3
をとる。
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> (1)


> 直円錐の高さをxとおくとき、Vをxで表すとどうなりますか。

円錐の底辺の円の半径をrとおくと、
V = (π/3)(r^2)x
となります。
なので後はrをxの式で表し、
それをV = (π/3)(r^2)xに代入してあげればよいです。

rをxの式で表したいなら、円錐の頂点と円の中心を通る平面で
円錐とそれに内接する球を切断した断面図を描いてみると良いです。
すると「三角形とその内接円の図」ができあがると思います。
出来上がったら三角形の三辺の長さをx, rを使って表して下さい
(この時、三平方の定理も利用します)。
後は「三角形の面積」と、「三角形の三辺の長さ・内接円の半径」の関係式
(三角形の内接円の半径を求める問題等でよく使う関係式の事です)を使うことで
rとxの関係式が作れるはずです。
あとはそれを式変形すればrをxの式で表すことができます。

> (2)
> また、体積Vの最小値を求めなさい。

微分を使って最小値を考えるだけなので楽に求められると思います。
なので省略します。
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