円錐の体積は、円柱の体積の3分の1って どうやって証明できますか？

円錐の体積は、円柱の体積の3分の1って

どうやって証明できますか？

No.5 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2023/03/08 16:56

[1]円錐の高さHと同じ高さの四角錐Aを考えます。

この四角錐Aの底面は一辺Lの正方形で、しかも底面の面積L²は、円錐の底面の面積Sと同じだとします。
　　S = L²
さて、円錐と四角錐Aを並べて同じ高さで切ってできる断面の面積を考えると、円錐も四角錐Aも、どこで切ったって同じです。なので、円錐と四角錐Aは体積が同じ。

[2]四角錐Aの高さはH, 底面の一辺の長さはLでした。ここで、同じ底面なのだけれども高さがL/2であるような四角錐Bの体積はいくらかを考えます。タテ方向にだけ(L/2)/H倍にしたわけですから、Bの体積はAの体積の(L/2)/H倍。つまり、Aの体積はBの体積の2H/L 倍です。

[3]四角錐Bと同じものを6個用意しまして、これらを図↓のように合体させると、1辺がLの立方体ができます。

[4] ということは、四角錐Bの体積は(L³/6)。なので、四角錐Aの体積は
　　(L³/6) × 2H/L = HL²/3
そして、円錐の体積はS = L²より
　　SH/3
これは底面積S、高さHの円柱の体積の1/3です。

この回答へのお礼

2分の1の高さで6個できるからと言うことでしょうか。

こんなうまくいくんですね

お礼日時：2023/03/08 21:39

No.6 回答者： GOMΛFU 回答日時： 2023/03/08 20:48

できません。

そもそも真円など存在しないし直線も平面もこの世にはありません。

この回答へのお礼

？

お礼日時：2023/03/09 15:30

No.4 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/03/08 16:18

積分で求めてるのです。

その結論がn錐の体積=(n柱の体積)/3です。

円柱だけで無く、角柱も、さらに真っ直ぐに立っていなくても、積分を使えば一般論で、円錐の体積は円柱の体積の1/3、角錐の体積は角柱の体積の1/3である事が導き出せます。

この回答へのお礼

なるほど！積分があったわ！

お礼日時：2023/03/08 21:39

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/03/08 16:14

円柱に限らず、底面を同じくする錐体の体積は柱体の1/3

底面の面積をS、高さをhとする。錐体において頂点から任意の
高さxの位置の切断面の面積S(x)は
　S(x)=S(x/h)²
となる。長さの比の二乗が面積の比となるから。すると
　V=∫[0,h]S(x)dx=Sh/3

Shは柱体の体積。

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2023/03/08 16:11

すごく薄い高さで 半径が 少しづつ小さくなる

沢山の円柱の合計で 求められます。
一口で言えば 積分です。
http://kentiku-kouzou.jp/suugaku-ensuitaiseki.html

この回答へのお礼

積分が確かにありましたね！

お礼日時：2023/03/08 21:39

No.1 回答者： 二段腹 回答日時： 2023/03/08 16:09

底面と高さが同じ円柱と円錐を用意する。

バケツに水を一定に貯める。
円柱を沈める。上がった水面の高さを測る。
円錐を沈める。上がった水面の高さを測る。
バケツの直径を測る。
上がった高さの差で体積の差が分かる。

理科の実験と同じ。