円錐・角錐の体積は「底面積×高さ÷3」になるのはなぜ？

三角形の面積の公式は、「底辺×高さ÷2」です。
「なんで2で割るの？」と聞かれたら、答えは簡単。
「この三角形と同じ三角形を上下ひっくり返してくっつけてごらん。
平行四辺形になったでしょ。この平行四辺形の面積を2で割ればいいんだよ。」

では、円錐・角錐などの錐体の体積は「底面積×高さ÷3」ですが、
なぜ3で割るのでしょうか？

私が昔中学生の頃、へっぽこな数学教師にこれを質問したところ、
「きっと昔の人が円柱と円錐の容器に水を入れて、その量を比べて
3で割る事を発見したんだと思います。
数学的に証明する事は私には分かりませんが、きっと私なんかよりも
ずっと賢い人が証明する手段を知っていると思いますので、大学に
行ってから先生に聞いてみてください。」などとテキトーな事を言ってました。

さて、錐体の体積の求め方を教えていただけますか？
「積分」がキーワードだと思うんですが…。
（ちなみに私はかなり昔に大学の理系を卒業しました）

No.2 ベストアンサー 回答者： BookerL 回答日時： 2008/04/13 19:42

　積分すれば簡単に出てきます。

例・底面の半径ｒ、高さｈの円錐の体積
頂点を原点に、ｘ＝ｈのところが底面の中心になる用の座標を取ると

ｘのところでの半径は x*r/h で、ここでの面積が π(x*r/h)^2 なので、体積は

∫[0,h]π(x*r/h)^2dx
＝(πr^2/h^2)∫[0,h]x^2dx
＝(1/3)πr^2h

これは、円柱の体積 πr^2h の 1/3 です。




※中学校の先生は、中学生に積分の説明をするのが無理だと思って「テキトーな事」を言ってたんでしょう。
　まあ、大学の理科系まで行かずとも、高校の積分でできるはなしです。

No.4 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/04/13 23:43

森鴎外の『雁』に、東大の医学生がソレの証明を知っているといって自慢する話

が出てきますね。円錐の場合は、積分が避けられませんから、中学生向きの話題
ではないでしょう。角錐の場合は、底面積と高さが共通な錐どうしは体積が同じ
であることを認めてしまえば、体積が柱の1/3であることは示すことができます。
「カバリエリの原理」を検索してみることを勧めます。

No.3 回答者： widoww 回答日時： 2008/04/13 20:12

こんなサイトを見つけましたよ。

てかきっと検索すればいやほどでてきますよー。

参考URL：http://nkiso.u-tokai.ac.jp/math/komori/muda/kaku …

No.1 回答者： ZIMA0063 回答日時： 2008/04/13 19:31

たとえば四角すいであれば、下のサイトにあるようにうまく切断してやると、3個の四角すいに分けられ、立方体の1/3の体積になります。

円すいは定積分ですね。
ttp://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugaku2/sekibunh/cube/cube.htm


不親切な回答になってしまい、すみません

参考URL：http://user.kkm.ne.jp/senna/flame.htm