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No.1
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次のように考えられてはいかがでしょうか。
0) 共通部分の体積を求める場合、個々の体積が分かっても求まりません。
共通部分の形状を見極めて、積分範囲をどのように分けるか検討します。
1) 座標変換(直交座標系→円柱座標系)
共通部分の座標に対し、次の変換を施す。
r^2=x^2+y^2、tanθ=y/x、 z=z
円柱: r=2a cosθ
上半球: r^2+z^2≦4a^2、z≧0
円錐: z≦h{1-r/(2a)}、z≧0
2) 対称性の検討
共通部分は、x軸に対して対称なので、y≧0 部分の体積を求め、後で2倍する。
3) 共通部分の形状
・共通部分の底面は、円(x-a)^2+y^2≦a^2
・点(r,θ,0)における高さを考えるために、r-z平面での上半球表面と円錐表面の様子を見る。
h≦2aのとき 円錐は上半球内に含まれる(上半球より円錐の方が高さが低い)
⇒ 点(r,θ,0)における高さは z=h{1-r/(2a)} になる。
h≧2aのとき r=2a(h^2-4a^2)/(h^2+4a^2)≡2acosα で上半球表面と円錐表面が交わる。
0≦r≦2a cosα で 点(r,θ,0)における高さは z=√(4a^2-r^2)
2a cosα≦r≦2a cosθ で 点(r,θ,0)における高さは z=h{1-r/(2a)}
ただし、円柱内の点におけるrの範囲は 0≦r≦2a cosθ と制限されるので、さらに θの値による場合分けが必要。
(α≦θ≦π/2 のとき、円柱内の点(r,θ,0)における高さは常に上半球表面になるため。)
0≦θ≦α、0≦r≦2a cosα のとき 高さ:z=√(4a^2-r^2)
0≦θ≦α、2a cosα≦r≦2a cosθ のとき 高さ:z=h{1-r/(2a)}
α≦θ≦π/2 のとき 高さ:z=√(4a^2-r^2)
(ちなみに、ここから、円錐によって切られる部分は、0≦θ≦α、2a cosα≦r≦2a cosθ だということが分かります。)
4) 数式にまとめる。
求める体積をVとすると、次のように表される。
4a) h≦2aのとき
V=2∫[0→π/2] dθ ∫[0→2a cosθ] rdr h{1-r/(2a)}
=(π-16/9)a^2 h (計算ミスがあるかもしれません。)
4b) h≧2aのとき
V=2∫[0→α] dθ ∫[0→2a cosα] rdr √(4a^2-r^2)
+2∫[0→α] dθ ∫[2a cosα→2a cosθ] rdr h{1-r/(2a)}
+2∫[α→π/2] dθ ∫[0→2a cosθ] rdr √(4a^2-r^2)
あるいは、先に直円柱の体積が求められています(検算していませんが)ので、そこから円錐によって削られる部分の体積を引いても求められます。
その場合は、次式で得られると思います。
V=(8(3π-4)a^3)/9 -2∫[0→α] dθ ∫[2a cosα→2a cosθ] rdr [√(4a^2-r^2)-h{1-r/(2a)}]
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