受けようと思っている大学院の過去問に次のような問題があったのですが、どうしても解けません。
f(z)=1/((exp(iz)-1)*z^2)
という関数があって、f(z)はz=0を3位の極として持つと思うのですが、
z=0での留数が計算できません。
z^3f(z)=z/(exp(iz)-1)をzで二階微分して、z→0を計算してみたのですが、分母も分子も不定形となって、極限が簡単に求まりません。
ロピタルの定理を用いようとしたのですが、分母も分子も複雑な形になって、他に簡単な求め方はないものかと思って質問させていただきました。どなたか分かる方がいましたら、ご教授お願いいたします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
せっかくなので、ちょっと丁寧に説明
exp(iz) = 1 + iz - z^2/2 - iz^3/6 + …
より、
(exp(iz)-1)*z^2 = iz^3 - z^4/2 - iz^5/6 + …
で、
1/(1+z) = 1 - z + z^2 - z^3 + …
を考えれば
f(z) = -i/z^3*1/(1 + iz/2 - z^2/6 - iz^3/24 + …)
= -i/z^3*(1 - (iz/2+z^2/6-iz^3/24…) + (iz/2+z^2/6-iz^3/24…)^2 - …)
= -i/z^3 - 1/(2z^2) + i/(12z) …
て感じで、最初の3項くらいまでは、簡単にローラン展開できます。
テーラー展開でもローラン展開でも、手で計算する場合は、直接定義式を計算するのではなくて、こんな感じに、簡単な関数の組み合わせで計算するのが普通です。
No.1
- 回答日時:
そんなに律儀に計算しないでも、級数展開の一意性っていうのがあるんで、とにかくなんでもいいからそれっぽい級数展開ができてしまえば、それが正しいんです。
というわけで、exp(z)=1+x+…を考えれば
exp(iz)-1)*z^2 = iz^3 + O(z^4)
ですから、
z^3*f(z) = 1/(i+O(z)) = -i/(1+O(z)) = -i + O(z)
でz^3の留数は -i ってことがわかります。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・人生のプチ美学を教えてください!!
- ・10秒目をつむったら…
- ・あなたの習慣について教えてください!!
- ・牛、豚、鶏、どれか一つ食べられなくなるとしたら?
- ・【大喜利】【投稿~9/18】 おとぎ話『桃太郎』の知られざるエピソード
- ・街中で見かけて「グッときた人」の思い出
- ・「一気に最後まで読んだ」本、教えて下さい!
- ・幼稚園時代「何組」でしたか?
- ・激凹みから立ち直る方法
- ・1つだけ過去を変えられるとしたら?
- ・【あるあるbot連動企画】あるあるbotに投稿したけど採用されなかったあるある募集
- ・【あるあるbot連動企画】フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
- ・映画のエンドロール観る派?観ない派?
- ・海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
- ・誕生日にもらった意外なもの
- ・天使と悪魔選手権
- ・ちょっと先の未来クイズ第2問
- ・【大喜利】【投稿~9/7】 ロボットの住む世界で流行ってる罰ゲームとは?
- ・推しミネラルウォーターはありますか?
- ・都道府県穴埋めゲーム
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・準・究極の選択
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
0.5時間などの時間計算の方法
-
1000分の3は何%ですか
-
1÷0の答えを教えて下さい
-
■分数計算■1/2+1/3-1/4-1/5-1/6...
-
標準偏差同士の計算はどうやる...
-
1000分の10の計算の仕方を教え...
-
1/2÷1/2はなぜ1になるのか?
-
大学入試での分母の有理化
-
比率の計算
-
血の濃さ
-
電気回路に関する基礎について、
-
分数の分母が連続した整数の積
-
数学 極限値 問題
-
答えあっていますか? 違ったら...
-
【Excel】合成確立計算で分子を...
-
分数の分母が0
-
微分係数の求め方がよくわかり...
-
10進法で表された数0.12を5進...
-
ゼロ乗の考え方について
-
1/R=1/R1+1/R2に何故なる??
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
0.5時間などの時間計算の方法
-
1000分の3は何%ですか
-
1/2÷1/2はなぜ1になるのか?
-
1000分の10の計算の仕方を教え...
-
閏年の金利
-
1÷0の答えを教えて下さい
-
小5 算数
-
比率の計算
-
分数の分母が0
-
複写機を購入した購入と同時に6...
-
【Excel】合成確立計算で分子を...
-
血の濃さ
-
標準偏差同士の計算はどうやる...
-
1/R=1/R1+1/R2に何故なる??
-
分子の括弧
-
ゼロ乗の考え方について
-
分数の分母が連続した整数の積
-
■分数計算■1/2+1/3-1/4-1/5-1/6...
-
a^3/(a-b)(a-c) +b^3/(b-c)(b-a...
-
10進法で表された数0.12を5進...
おすすめ情報