【無料配信♪】Renta !全タテコミ作品第1話

こんにちは。教えてください。
電流、電荷量、時間の関係式として、
I=dQ/dt
とあります。
この"d"とはどういう意味なのでしょか?
積分とかの意味なのでしょうか?
単純に、I=Q/tではだめな理由はなんでしょうか?

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A 回答 (6件)

三たびお邪魔します。



ご質問のタイトルが「電流を求める式で」でしたね。

私が挙げた例で言えば、

V/V1 = 1-e^(-t/RC)
でしたから、
V = V1・{1-e^(-t/RC)}
dV/dt = V1/RC・e^(-t/RC)

よって、抵抗Rを流れる電流は、時刻tの関数として、
I(t) = dQ/dt = C・dV/dt
 = V1/R・e^(-t/RC)

この式の意味するところは、

電源V1のスイッチを入れた瞬間(t=0)においては、
電流一定のときのオームの法則と同じく、
I(0)=V1/R
という電流が流れますが、
充電が進み、コンデンサCの一端の電圧(=V)がV1に近づくにつれて、
電流Iがだんだん小さくなり、
t→∞ で電流Iはゼロに近づきます。
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この回答へのお礼

3回も回答いただき恐縮です。
ちょっと難しい式とかはいっていて全部は理解できてませんがどういうふに勉強すればいいか参考になりました
ありがとうございました

お礼日時:2007/07/24 21:08

再びお邪魔します。



すみません。
最後の辺りに誤記がありましたので、以下のように訂正します。


V/V1 = 1-e^(-t/RC)

この式が意味することは、
電源V1をオンした後、Vは0VからV1にだんだん近づいてく、
すなわち、
t=0  のとき、VはV1の電圧の0%
t=RC のとき、VはV1の電圧の(1-1/2.78)×100%
t=2RCのとき、VはV1の電圧の(1-1/2.78^2)×100%
t=3RCのとき、VはV1の電圧の(1-1/2.78^3)×100%
・・・・・
t→∞ で、V/V1=1 (満充電) に近づく。
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dは微小な値です。


dQは微小なQ、dtは微小なtです。
(0ではありません)

Qをtで1回微分したものが dQ/dt です。
微小時間dtの間にQがどれだけ変化するか、ということを表しています。

こちらの例が分かりやすいでしょうか。
物体を等加速度の直線運動(自由落下がその一例)させるとき、
d^2 x/dt^2 = a  (aは加速度、定数)

これをtで1回積分すると、速さの式になります。
v(t) = dx/dt = at + C1
(C1は積分定数)
初速v(0)(時刻t=0における速さ)をv0と置く、という初期条件を与えると、
C1 = v0 なので、
v = dx/dt = at + v0

さらにtで1回積分すると、位置(距離)の式になります。
x = a・t^2/2 + v0・t + C2
(C2は積分定数)

出発地点の座標(時刻t=0における場所)をx=0と決める、という初期条件を与えると、
C2 = 0 なので、
x = a・t^2/2 + v0・t
たぶん、ご覧になったことのある式だと思います。

最後の式を、逆にtで微分していけば、
x = a・t^2/2 + v0・t
v = x’= at + v0
v’= a



では、話を電気の方に戻しまして、

V-----/\/\/\-------GND
        R

という回路を考えます。
Vに流れる電荷(R、GNDに流れる電荷も同じ)をQと置くと、
オームの法則により、
V = R・dQ/dt
dQ/dt = V/R
Q(t) = V/R・t + Const.
時刻t=0 のときに、積算電荷Q=0として、そこからQをカウントし始めることにすれば、
Q(0) = Const. = 0
Q(t) = V/R・t
よって、
Q/t = V/R
つまり、抵抗だけの回路の場合には、
V/R = dQ/dt = Q/t
となり、dQ/dtでもQ/tでも同じになります。
(一次関数のグラフの傾きが、区間をどのように取っても同じである、ということと同じです。)



今度は、こちらを考えてみましょう。
dQ/dt = Q/t とはならない、代表的な例です。

V1-----/\/\/\------(V)-------||-------GND
        R                   C

V、Rに流れ、Cの一端(電圧=V)に溜まっていく電荷をQと置くと、

オームの法則の式により、
V1-V = R・dQ/dt
コンデンサの式により、
Q = C・V
dQ/dt = C・dV/dt

よって、
V1-V = RC・dV/dt

v = V1-V と置けば、
dv/dt = 0 - dV/dt = -dV/dt
なので、

v = -RC・dv/dt

-dt = RC・dv/v
-∫dt = RC∫dv/v
-∫1・dt = RC∫1/v・dv

-t = RC・lnv + 定数
 = RC・ln(V1-V) + 定数

-t/RC + 定数その2 = ln(V1-V)
定数その3 × e^(-t/RC) = V1-V

時刻t=0において、V=0(Cが全く充電されていない)という
初期条件を与えると、
定数その3 × e^(-0/RC) = V1-0
なので、
定数その3 = V1

よって、
V1-V = V1・e^(-t/RC)
V/V1 = 1-e^(-t/RC)

この式が意味することは、
電源V1をオンした後、Vは0VからV1にだんだん近づいてく、
すなわち、
t=0  のとき、VはV1の電圧の0%
t=RC のとき、VはV1の電圧の(1-2.78)×100%
t=2RCのとき、VはV1の電圧の(1-2.78^2)×100%
t→∞ で、V/V1=1 (満充電) に近づく。

言い換えれば、信号V1がVへ伝わるときの遅延時間を表します。

遅延の大小は、抵抗と容量の積RCで決まるので、RC(=τ)のことを
時定数と呼びます。
(τは、ギリシャ文字で「タウ」と読みます。)
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これは微分です。


I=ΔQ/Δt=(Q2-Q1)/(t2-t1)
電荷の変化率が電流です。Δを極限まで小さくして0にしたときdになり微分になります。

> I=Q/tではだめな理由はなんでしょうか?
これは平均電流ですね。途中での電流変化を考えていません。
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IやQが常に一定値であればI=Q/tでもいいのですが、刻一刻変化している場合は、その瞬間だけを捉えた方が現象を正確に表すことになります。

dは極めて小さいという意味を持っています。
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この回答へのお礼

なるほど、なんとなく分かりました
ありがとうございました

お礼日時:2007/07/21 12:00

d は微分です。


「電荷量の変化を時間で微分したものが電流値である」という意味になります。
電荷が時間に対して一定の量づつ減っていく場合は Q/t と同じ意味になりますが、一定量づつ減らない場合は割り算ではダメです。
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この回答へのお礼

ありがとうございます.
微分ですか。。単位時間あたりで考えればよいのですね、

お礼日時:2007/07/21 11:59

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電流がI=dQ/dtやI=-dQ/dtと表わしてある意味がわかりません。
物理で、抵抗R、コンデンサC、スイッチSが閉じる回路があり、コンデンサCの両極に±Qの電荷がある。
このとき、スイッチを閉じ抵抗Rを通じて放電するときの電流の時間変化を求める問題において、I=-dQ/dtとして、微分方程式を立てて解くことみたいです。そのとき、なぜ、電流をI=-dQ/dtとするのがわかりません。下記のページ↓を見ても、なぜこの問題においてI=-dQ/dtとするのかわかりません。わかりやすく教えてください(+o+) お願いします。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1222281602

Aベストアンサー

コンデンサーにたまっていた電荷が放電する場合ですからそれに合わせて考える必要があります。
#2に場面の説明と図があります。(抵抗Rを入れておく方が分かりやすいでしょう。)
その図で言うと電流の向きは反時計回りです。
この向きは+Qのある極板(Aとします)から-Qのある極板(Bとします)に向かって電荷が移動するということで決まります。逆は起こりません。電流が流れれば極板の上の電荷は減少します。
I=-dQ/dtです。
この式の中でのQは一般的な電荷の意味ではありません。極板Aの上の電荷の意味です。
だからこの式は方程式なのです。(定義式ではありません。)
(この場面でI=dQ/dtは出てきません。電荷が増加する方向に電流が流れるということが起こらないからです。起こるとしたら電池を接続しての充電の場合です。#2の図でいえばスイッチの入っている方向が違うのです。1つの場面に両方の式が出てくるということはありません。)

極板に電荷がたまっていればQ=CVで決まる電位差が存在します。
電流Iはこの電位差とも関係します。I=V/Rです。
I=Q/(CR)ですから微分方程式は Q/(CR)=-dQ/dtになります。
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Q=Qoexp(-t/(CR))

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-をつけた式で考えたので矛盾のない結果になったのです。

充電の場合でしたら
I=dQ/dt
Q=CV
I=(E-V)/R  ・・・  (Eは電池の起電力)

t=0でQ=0という条件で解くと
Q=CE(1-exp(-t/(CR)))

t→∞でQ=CEです。
充電できました。

コンデンサーにたまっていた電荷が放電する場合ですからそれに合わせて考える必要があります。
#2に場面の説明と図があります。(抵抗Rを入れておく方が分かりやすいでしょう。)
その図で言うと電流の向きは反時計回りです。
この向きは+Qのある極板(Aとします)から-Qのある極板(Bとします)に向かって電荷が移動するということで決まります。逆は起こりません。電流が流れれば極板の上の電荷は減少します。
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QRC並列回路(直流)の微分方程式が分かりません

RC並列回路(直流回路)の過渡応答の微分方程式がうまく導くことができません。
初期状態で,電荷Qがコンデンサに蓄えられています。
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どなたか,助けていただけませんか?
もうノートが真っ黒です。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

とりあえず,ANo.5のaの回路を扱っておきます.
例によってスイッチSを閉じた瞬間を時刻t = 0とし,
電源から流出する電流をi,
抵抗を流れる電流をi_R,
コンデンサを流れる電流をi_Cとします.

キルヒホフの第1法則より
i = i_R + i_C. …(1)

第2法則より
v = r i + R i_R, …(2)
v = r i + (1/C)∫(-∞,t] i_C dt. …(3)

※私個人的には気持ち悪いのですが,式が煩雑になるのを避けるため,定積分の上端と積分変数に同じ文字を使いました.

※あと,デルタ関数とかの処理をきっちりするため,積分下端を-∞にしました.

ただし,
v = E u(t). …(4)

(1),(2)よりi_Rを消去して,
i_C = (1 + r/R)i - v/R.

これを(3)に代入して,
v = r i + (1/C)∫(-∞,t]{(1 + r/R)i - v/R}dt
dv/dt = r di/dt + (1 + r/R)i/C - v/(C R)

∴di/dt + (1 + r/R)i/(C r) = {dv/dt + v/(C R)}/r = (E/r){δ(t) + u(t)/(C R)}.

ただし,初期条件は E = r i(0) より
i(0) = E/r.

これがこの回路の微分方程式です.

----
この微分方程式はラグランジュの定数変化法で解くことができて,初期条件を考慮した解は,t > 0 において

i
= (E/r)exp{-(1 + r/R)t/(C r)}
+ E/(R + r) [1 - exp{-(1 + r/R)t/(C r)}],

したがって,

i_R = E/(R + r) [1 - exp{-(1 + r/R)t/(C r)}],

i_C = (E/r)exp{-(1 + r/R)t/(C r)}.

コンデンサの両端の電圧は

v_C = R i_R
= E/(1 + r/R) [1 - exp{-(1 + r/R)t/(C r)}]

以上の結果においてr→+0の極限を取ると,その振る舞いはANo.3の解と一致します.

とりあえず,ANo.5のaの回路を扱っておきます.
例によってスイッチSを閉じた瞬間を時刻t = 0とし,
電源から流出する電流をi,
抵抗を流れる電流をi_R,
コンデンサを流れる電流をi_Cとします.

キルヒホフの第1法則より
i = i_R + i_C. …(1)

第2法則より
v = r i + R i_R, …(2)
v = r i + (1/C)∫(-∞,t] i_C dt. …(3)

※私個人的には気持ち悪いのですが,式が煩雑になるのを避けるため,定積分の上端と積分変数に同じ文字を使いました.

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Aベストアンサー

No.2です。

ANo.2の補足に関連して

時間微分d/dtや時間積分∫dtは
交流理論では、
 d/dt ⇒ jω、 ∫dt⇒1/(jω)
で扱います。これによって微分方程式が加減乗除算で扱えるようになります。
交流理論では電圧や電流はAe^(jωt)の形式の実部または虚部に直して扱われます。
 Ldi/dt ⇔ jωLI (e^(jωt)は共通なので交流理論では省略される)
 (1/C)∫idt ⇔ I/(jωC) (e^(jωt)は共通なので交流理論では省略される)

過渡現象論では
 d/dt ⇔ s , ∫dt ⇔ 1/s
で扱います。
 これはラプラス変換対という双方向の積分変換で関係づけられています。

周波数スペクトル(伝送回路・フィルター設計、音声スペクトル、制御理論、信号処理論・通信理論)では、周波数解析、スペクトル解析、時間信号-周波数スペクトル変換において
jωやsやフーリエ変換対による積分変換で
 時間関数f(t) ⇔ 周波数スペクトルF(ω)
         (振幅スペクトルと位相スペクトル) 
と時間領域の関数を周波数領域で解析することもありますね。
 

No.2です。

ANo.2の補足に関連して

時間微分d/dtや時間積分∫dtは
交流理論では、
 d/dt ⇒ jω、 ∫dt⇒1/(jω)
で扱います。これによって微分方程式が加減乗除算で扱えるようになります。
交流理論では電圧や電流はAe^(jωt)の形式の実部または虚部に直して扱われます。
 Ldi/dt ⇔ jωLI (e^(jωt)は共通なので交流理論では省略される)
 (1/C)∫idt ⇔ I/(jωC) (e^(jωt)は共通なので交流理論では省略される)

過渡現象論では
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Qコンデンサに蓄えられるエネルギーと抵抗での消費エネルギー

電気回路の基礎だと思うのですが、コンデンサに蓄えられる
エネルギーと抵抗で消費されるエネルギーは同じですよね。

それで試しに計算してみたのですが、どうも違う値が出てしまいます…。
そこで、私の計算が間違っているのかどうかご指南していただきたいと思い
質問させていただきました。

直流電圧17[kV]にR=60[kΩ],C=1[mF]を直列に接続した回路を考えた場合で、
コンデンサ充電電圧が5[kV]になったら直流電圧が切り離される
回路を考えます。

コンデンサに蓄えられるエネルギーは1/2*C*V^2ですからWc=12500[J]となります。
次に抵抗で消費されるエネルギーなんですが、I^2*R*tで表されますので、
回路に流れる電流値I=V/R*exp(-1/RC*t)を二乗しまして、
それにRをかけてコンデンサに5[kV]たまるまでの時間までの間を
積分しました。
そうすると消費されるエネルギーはWr=76090となりました。
少しあらい積分なので多少の誤差は出るものだとは思いますが
さすがに5倍以上の誤差はどうかと思います。

しかし、私の計算が間違ってる可能性も十分にありますので、
どこか間違っていましたらご指摘くださいますようお願いします。

電気回路の基礎だと思うのですが、コンデンサに蓄えられる
エネルギーと抵抗で消費されるエネルギーは同じですよね。

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コンデンサ充電電圧が5[kV]になったら直流電圧が切り離される
回路を考えます。

コンデンサに蓄えられるエネルギーは1/2*C*V^2です...続きを読む

Aベストアンサー

コンデンサの蓄積エネルギーと、抵抗での消費エネルギーが一致するのは、電源電圧までコンデンサの充電を完了した場合(今回は17kVまで充電を完了した場合)だったかと思います。
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Q時定数について

時定数(τ=CR)について物理的意味とその物理量について調べているのですが、参考書等これといってわかりやすい説明がありません。どうが上記のことについて詳しく説明してもらえないでしょうか?

Aベストアンサー

1次応答のお話ですね。
物理の世界では「1次応答」と呼ばれる系をしばしば扱います。その系の応答の時間的尺度を表す数字が「時定数」です。物理量としては時間の次元を持ち、時間と同様に秒や分などを単位に表現できます。

直感的には「水槽から出て行く水」のアナロジーで考えると分かりやすいと思います。いま水槽があって下部に蛇口が付いているとします。蛇口をひねると水は流れ出ますが、水が流れ切ってしまうまでにどれくらい時間がかかるでしょうか。
明らかに水槽が大きいほど、そして蛇口が小さいほど時間がかかります。逆に水槽が大きくても蛇口も大きければ水は短時間で出て行きますし、蛇口が小さくても水槽が小さければこれまたすぐに水槽はからっぽになります。
すなわち水がからっぽになるまでに要する時間の目安として
 水槽の大きさ×蛇口の小ささ
という数字が必然的に出てきます。ご質問の電気回路の場合は
 コンデンサの容量→水槽の大きさ
 抵抗→蛇口の小ささ
に相当するわけで、CとRの積がその系の応答の時間的な目安を与えることはなんとなくお分かり頂けると思います。

数式を使いながらもう少し厳密に考えてみましょう。以下のようにコンデンサCと抵抗Rとからなる回路で入力電圧と出力電圧の関係を調べます。
 + C  -
○─┨┠─┬──●
↑    <  ↑
入    <R  出
力    <  力
○────┴──●

入力電圧をV_i、出力電圧をV_oとします。またキャパシタCに蓄積されている電荷をQとします。
するとまず
V_i = (Q/C) + V_o   (1)
の関係があります。
また電荷Qの時間的変化が電流ですから、抵抗Rの両端の電位差を考えて
(dQ/dt)・R = V_o   (2)
も成立します。
(1)(2)を組み合わせると
V_i = (Q/C) + (dQ/dt)・R   (3)
の微分方程式を得ます。

最も簡単な初期条件として、時刻t<0でV_i = 0、時刻t≧0でV_i = V(定数)となるステップ応答を考えます。コンデンサCは最初は帯電していないとします。
この場合(3)の微分方程式は容易に解かれて
V_o = A exp (-t/CR)   (4)
を得ます。exp(x)はご存じかと思いますがe^xのこと、Aは定数です。解き方が必要なら最後に付けておきましたので参考にして下さい。
Cは最初は電荷を蓄積していないのですから、時刻t=0において
V_i = V = V_o   (5)
という初期条件が課され、定数Aは実はVに等しいことが分かります。これより結局、
V_o = V exp (-t/CR)   (6)
となります。
時間tの分母にCRが入っているわけで、それが時間的尺度となることはお分かり頂けると思います。物理量として時間の次元を持つことも自明でしょう。CとRの積が時間の次元を持ってしまうのは確かに不思議ではありますが。
(6)をグラフにすると下記の通りです。時刻t=CRで、V_oはV/e ≒0.368....Vになります。

V_o

* ←初期値 V        
│*
│ *
│   *         最後は0に漸近する
│      *       ↓
└───┼──────*───*───*───*─→t
t=0  t=CR
   (初期値の1/e≒0.368...倍になったタイミング)


【(1)(2)の解き方】
(1)の両辺を時間tで微分する。V_iは一定(定数V)としたので
0 = (1/C)(dQ/dt) + (dV_o/dt)
(2)を代入して
0 = (1/CR) V_o + (dV_o/dt)
-(1/CR) V_o = (dV_o/dt)
- dt = dV_o (CR/V_o)
t = -CR ln|V_o| + A
ここにlnは自然対数、Aは定数である。
この式は新たな定数A'を用いて
V_o = A' exp (-t/CR)
と表せる。

1次応答のお話ですね。
物理の世界では「1次応答」と呼ばれる系をしばしば扱います。その系の応答の時間的尺度を表す数字が「時定数」です。物理量としては時間の次元を持ち、時間と同様に秒や分などを単位に表現できます。

直感的には「水槽から出て行く水」のアナロジーで考えると分かりやすいと思います。いま水槽があって下部に蛇口が付いているとします。蛇口をひねると水は流れ出ますが、水が流れ切ってしまうまでにどれくらい時間がかかるでしょうか。
明らかに水槽が大きいほど、そして蛇口が小さい...続きを読む

Q運動方程式の微分積分の計算

 運動方程式の微分積分の計算方法がわかりません。詳しく教えてもらえると嬉しいです。よろしく、お願いします。以下はテキストの抜粋です。

m・dv/dt = F(r)
両辺に速度 v=dr/dt をかけると
mv・dv/dt = F(r)・dr/dt
となる。ここで、
v・dv/dt = d/dt(1/2v^2)  ← この式変形が、分かりません。1/2も不明です。
と変形できるので、上の式は
d/dt [1/2 mv^2(t)] = F・dr(t)/dt

Aベストアンサー

積の微分の公式
(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
をつかっているだけです。

v^2=v・v
v'=dv/dt

です。

d/dt(v^2)=(v^2)'=(v・v)'=v'v+vv'=2vv'=2v・dv/dt

だから、

v・dv/dt=1/2・d/dt(v^2)=d/dt(1/2v^2)

でしよう。

Q何kV/cmで絶縁破壊が起こるか?

試料に高電圧を印加する実験を考えております。シリコンオイル中、および大気中において、何kV/cmで絶縁破壊が起こるか、ご存知の方がいらっしゃいましたら教えていただきたく存じます。有効数字は一桁程度でかまいません。

Aベストアンサー

一般的にいわれるのは
大気中:30kV/cm

また、教科書によると、
シリコン油中:80kV/2.5mm
だそうです。
ただ、絶縁破壊電界は電極間距離に依存し、一般には短い方が高電界に耐えます。

Qオシロの入力インピーダンスについて

私の使っているオシロスコープは入力インピーダンスを
50Ωと1MΩに切り替えることができるのですが、切り替えたらどうなるのかよくわかりません。
マニュアルには観測できる垂直軸(電圧)の領域が1MΩのほうが大きいとしか書いてないです。
同じシグナルを入力したときに50Ωと1MΩとでは波形が違うみたいです。
切り替えると何が起こるのでしょうか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

50Ω

信号は電力伝送されますから
あまり強い信号を入力してはいけません。
測定相手が50Ω系であれば、配線を切って
オシロに接続することで、反射の無い
きれいな(本来の)波形を観測することができます。
また、50Ωだと受け側は純抵抗に近くなりますから
容量成分で生じる不都合(スパイクなど)も
発生しません。
ただし、配線を切れないところの測定には適しません。
(こちらに電流が流れてしまうため)

1MΩ

信号はハイインピーダンス受けとなりますから、
配線を負荷につないだままで、
もしくは回路の途中からでも信号を取り出して
波形を観測することができます。
しかし、ハイ受けですから、回路に多少影響を
与えます。
また、出力回路のような処では
別に終端抵抗を必要とします。
そしてインピーダンスは高くても
プローブの容量成分(20pFぐらいかな)は
そのまま残りますから
波形に乱れが生じる場合もあります。

なお、オシロの回路は、1MΩ受けに造られていて
50Ωの時は入力端に抵抗が挿入されるように
作られているはずです。

50Ω

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Qラプラス変換とフーリエ変換

ラプラス変換とフーリエ変換はそれぞれ何を求めるものなのでしょうか?
基本的なことで申し訳ありませんが宜しければ教えて下さい。

Aベストアンサー

 ラプラス変換は、元はと言えば線形微分方程式を解くテクニックとして発達し、これがあんまり旨く行くもんだからきちんと研究して理論体系ができた、という経緯を持っています。
線形微分方程式てのは関数f(t)をtでn回微分したものをf^(n)(t)と書くとき、係数a[i]を掛けて
a[n] f^(n)(t) + a[n-1] f^(n-1)(t)+......+ a[0] f(t)=g(t)
という形に表される微分方程式です。
f(t)のラプラス変換をF(s)としますと、「fをtで微分したもの」はsF(s)となります。「微分する」を掛け算に変換できるから、微分方程式がただの多項式の方程式に変換されてしまう訳です。この多項式の方程式を解いて、答えを逆変換すればf(t)が得られます。
 このように、ラプラス変換の結果を直接利用するのではなく、変換して問題を解き、その答を逆変換で元の世界に引き戻す、という使い方が主です。
 また、f(t)はt>0の部分だけ考ます。tは時間を表すと解釈される事が多く、信号処理の分野で大いに使われます。なお、ラプラス変換のデジタル版はz変換と言います。

 フーリエ変換は、元はと言えば、伝熱方程式を解く方法として開発された。伝熱方程式は熱が伝わるさまを表す偏微分方程式です。(しかし、これでどうやって伝熱方程式を解くのか、すぐには分からないだろうと思います。)フーリエ変換はラプラス変換の一種と言っても良いぐらいよく似た変換であり、ラプラス変換と同様、変換して問題を解き、その答を逆変換で元の世界に引き戻す、という使い方ができます。
 しかし、周期関数をフーリエ変換することは、周波数成分への分解(フーリエ級数展開)という、分かりやすい意味を持っており、これは丁度、光をプリズムで成分に分解することと同じです。
 フーリエ変換のデジタル版はDFT(デジタルフーリエ変換)と言います。DFTを計算する早いアルゴリズムFFT(高速フーリエ変換)がとても有名なので、フーリエ変換、DFT、FFTを混同する方がしばしばいらっしゃいますけれども、これらは別の概念です。

 ラプラス変換とフーリエ変換、両方に共通する重要な性質として、コンボルーション定理があります。
 コンボルーション(convolution、重畳積分、畳み込み)とは
 h(t)=∫f(t-x)g(x) dx (積分は定積分)
によって二つの関数f,gを組み合わせる操作です。電気回路で入力信号f(t)にフィルターg(t)を作用させて出力信号h(t)を作り出すことはこの式で表されます。(この場合、積分はx=0~∞もしくはx=-∞~∞)。また、画像f(p,q)にフィルターg(p,q)を作用させて平滑化や先鋭化を行うのも同じ式で表されます。(この場合、積分はp,qそれぞれについて-∞~∞の範囲の定積分となります。)
 f,g,hをそれぞれラプラス変換、あるいはフーリエ変換したものをF,G,Hと書くとき、
H(s)=F(s)G(s)
が成り立つ、というのがコンボルーション定理です。コンボルーションが単なる掛け算に変換できるので、計算しやすくなる、ということの他に、
 F(s) = H(s)/G(s)
によって、フィルターgで変化させられた信号hから元の信号fを再現するのにも利用できます。

 これらの変換によって、微分・積分・コンボルーションなどを簡単な演算に置き換えて取り扱える、という性質は、「演算子法」という分野と密接な関係にあります。また、超関数論と密接な関係があり、これによってf(x)=x^2のような、普通の意味ではラプラス変換やフーリエ変換ができない関数にまで対象を広げることができ、これらの変換をとてもすっきりと整理して理解できます。

 ラプラス変換は、元はと言えば線形微分方程式を解くテクニックとして発達し、これがあんまり旨く行くもんだからきちんと研究して理論体系ができた、という経緯を持っています。
線形微分方程式てのは関数f(t)をtでn回微分したものをf^(n)(t)と書くとき、係数a[i]を掛けて
a[n] f^(n)(t) + a[n-1] f^(n-1)(t)+......+ a[0] f(t)=g(t)
という形に表される微分方程式です。
f(t)のラプラス変換をF(s)としますと、「fをtで微分したもの」はsF(s)となります。「微分する」を掛け算に変換できるから、微分方程式...続きを読む

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。


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