No.1ベストアンサー
- 回答日時:
位数が1のときは自明として、位数が2,3,5,7のときは、これら
は素数なので、巡回群となり、したがってアーベル群です。
あとは位数が4の場合ですが、単位元でない元aの位数は2か4です
が、位数が4の場合は位数4の巡回群となり、したがってアーベル群
になります。
aの位数が2の場合は、部分群{e,a}による剰余群を考えると、群は
{e,a}∪b{e,a}={e,a}∪{b,ba}となり、{e,a}の群における指数が2な
ので、これは正規部分群であり、したがって、
b{e,a}b^(-1)={e,a}
{e,bab^(-1)}={e,a}
より、bab^(-1)=aとなり、ba=abとなり、aとbは可換となります。
あとは、ba=abを利用して、aとba、bとbaが可換であることを示せば、
群はアーベル群であることが言えます。
No.3
- 回答日時:
一応、補足への回答として
元aの位数が4のときは、aは4乗して初めてeになるので、e,a,a^2,a^3
はすべて異なり、しかもこれらは群に含まれ、群の位数は4なので、
個数を考えると、群は{e,a,a^2,a^3}になって巡回群、したがってアー
ベル群になります。
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