痔になりやすい生活習慣とは?

「位数が9以下の有限群は、位数が6.8をのぞきすべてアーベル群である。」どのように示せばいいのでしょうか。ヒントをください。

A 回答 (3件)

位数が1のときは自明として、位数が2,3,5,7のときは、これら


は素数なので、巡回群となり、したがってアーベル群です。
あとは位数が4の場合ですが、単位元でない元aの位数は2か4です
が、位数が4の場合は位数4の巡回群となり、したがってアーベル群
になります。
aの位数が2の場合は、部分群{e,a}による剰余群を考えると、群は
{e,a}∪b{e,a}={e,a}∪{b,ba}となり、{e,a}の群における指数が2な
ので、これは正規部分群であり、したがって、
b{e,a}b^(-1)={e,a}
{e,bab^(-1)}={e,a}
より、bab^(-1)=aとなり、ba=abとなり、aとbは可換となります。
あとは、ba=abを利用して、aとba、bとbaが可換であることを示せば、
群はアーベル群であることが言えます。

この回答への補足

位数が4の場合は位数4の巡回群となりというのは,自明trivialでしょうか。

補足日時:2007/07/27 01:40
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この回答へのお礼

 非常にわかりやすい説明どうもありがとうございます。よくわかりました。

お礼日時:2007/07/27 01:48

一応、補足への回答として



元aの位数が4のときは、aは4乗して初めてeになるので、e,a,a^2,a^3
はすべて異なり、しかもこれらは群に含まれ、群の位数は4なので、
個数を考えると、群は{e,a,a^2,a^3}になって巡回群、したがってアー
ベル群になります。
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この回答へのお礼

そうでした。30年群論やってなかったのではずかしい。補足書き込んだ瞬間気が付いたんですが。
ごていねいに、どうもありがとう。

お礼日時:2007/07/28 09:17

あと位数が9の場合がありましたね。


この場合も単位元でない元aの位数が3の場合と9の場合を考えて、
位数が3の場合は、同様にaで生成される部分群{e,a,a^2}による
剰余類を考えることになります。
また、一般的にpを素数とするとき、位数がp^2の群はアーベル群に
なります。
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この回答へのお礼

よくわかりました。

お礼日時:2007/07/27 01:49

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