a^n+b^nの因数分解の仕方

Question

こんにちは。

a^n+b^nを因数分解したいのですが、
a^n+b^nをaの式と見た時に因数定理でnが奇数の時は
（a+b）が因数になることは分かったのですが、
残りの因数の求め方として

(1)a^n+b^nを（a+b）で直接割り算する。（相当分かりづらい）
(2)組み立て除法を使う　（nが未知数だと結構分かりづらい）

の2通りの方法を思い付いたのですが、
どちらも面倒で分かりづらい気がします。

もう少し見通しの良い方法をご存知の方がいましたら教えてください。
よろしくお願いします。

aquarius_hiro · Accepted Answer

こんにちは。

皆さんの方法で良いのですが、少し違うかんじのものを示しますね。
本質的にはすべて同じ計算なので、説明の仕方が違うだけなんですよね。

nは奇数です。

a^n + b^n 
= a^n 
　+ a^{n-1} b 　 -   a^{n-1} b
　- a^{n-2} b^2  +   a^{n-2} b^2 
　　　　　　　・・・
　+ a^2 b^{n-2}  -   a^2 b^{n-2}
　- a b^{n-1}    +   a b^{n-1} 
　+ b^n

これはいったい何者かというと、右辺で、
　第2項+第3項=0、
　第4項+第5項=0、
　　・・・・・
　第(2n-2)項+第(2n-1)項=0  
を挟んでいるだけです。

今度は組合せをかえて、
　第1項+第2項 = a^{n-1} (a+b)
　第3項+第4項 = - a^{n-2} (a+b) b
　　・・・・・
　第(2n-1)項+第2n項 = (a+b) b^{n-1} 
と見ると、どの組も(a+b)でくくれます。

従って、

a^n + b^n = (a+b) (a^{n-1} - a^{n-2} b + - … + b^{n-1}) 

が得られます。

aquarius_hiro · Answer

A No.6です。

もう一つ別の見方を説明しますね。

a と b が何かの単位を持っていると考えるとわかりやすいです。
例えば、m（メートル）としましょうか。

a^n + b^n = (a+b) (・・・) 

と書いたときに、両辺の単位が等しく m^n となるためには、
(・・・) は、m^{n-1} の単位でないといけませんね。

従って、(・・・) は、k=0,1,2, …, n-1 として、

　　C_k a^{n-1-k} b^k

の形の項の和になります。C_k は定数の係数です。
（因数分解できることがわかっているので、負のべきはありません。）

すなわち、

a^n + b^n = (a+b) (C_0 a^{n-1} + C_1 a^{n-2} b + … + C_{n-2} a b^{n-2} + C_{n-1} b^{n-1}) 

と書けます。

両辺の a^{n-k} b^k の係数を比較すると、

a^{n-0} b^0 の係数：　1 = C_0 
a^{n-1} b^1 の係数：　0 = C_0 + C_1
a^{n-2} b^2 の係数：　0 = C_1 + C_2
　　　・・・・・
a^1 b^{n-1} の係数：　0 = C_{n-2} + C_{n-1} 
a^0 b^{n-0} の係数：　1 = C_{n-1} 

故に、1 = C_0 = - C_1 = C_2 = ・・・= - C_{n-2} = C_{n-1} = 1 

故に、

a^n + b^n = (a+b) (a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3} b^2 - … + b^{n-1})

が得られます。

noname#57316 · Answer

1+r+r^2+r^3+・・・+r^(n-1)=(1-r^n)/(1-r) において、
r=-(b/a)とすると
nが奇数の時、
1-(b/a)+(b/a)^2-(b/a)^3+・・・・+(b/a)^(n-1)={1+(b/a)^n}/{1+(b/a)}
これから
{a^(n-1)-b・a^(n-2)+b^2・a^(n-3)-・・・・+b^(n-1)}・(a+b)=a^n+b^n
つまり、nが奇数の時
a^n+b^n=(a+b)・{a^(n-1)-b・a^(n-2)+b^2・a^(n-3)-・・・・+b^(n-1)}
と因数分解できる。

info22 · Answer

まず
(A)n=偶数の場合は
a^2=A,b^2=Bとおけば
A^m+B^m (m=n/2)となりますね。
mが奇数なら
(A+B)=(a^2+b^2)が因数になります。
mが偶数なら(A)の手順を繰り返します。

奇数になれば因数分解します。
kが奇数の時
a^k+b^k=(a+b)(Σ[i=1,k] a^(k-i)(-b)^(i-1))

たとえば
n=2m,m=odd(奇数)の場合
a^n+b^n=A^m+B^m=(A+B)(Σ[i=1,m] A^(m-i)(-B)^(m-1))
=(a^2+b^2)(Σ[i=1,m] (-1)^(m-1)a^2(m-i)b^2(m-1))
となります。
n=4m,m=oddの場合
a^n+b^n=(a^4+b^4)(Σ[i=1,m] (-1)^(m-1)a^4(m-i)b^4(m-1))
…

参考までに
a^3+b^3=(a+b)(a2-ab+b^2)
a^5+b^5=(a+b)(a^4-ab^3+a^2b^2-a3b+b^4)
a^7+b^7=(a+b)(a^6-ab^5+a^2b^4-a^3b^3+a^4b^2-a^5b^1+b^6)
a^9+b^9=(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^6-a^3b^3+b^3)
…
a^27+b^27=(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^6-a^3b^3+b^6)(a^18-a^9b^9)+b^18)
…

a^4+b^4=(a^2+b^2+√2ab)(a^2+b^2-√2ab)
a^6+b^6=(a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4)
a^8+b^8=(a^4+b^4+√2a^2b^2)(a^4+b^4-√2a^2b^2)
a^10+b^10=(a^2+b^2)(a^8-a^6b^2+a^4b^4-a^2b^6+b^8)
…
a^30+b^30=(a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4)(a^8-a^2b^6+a^4b^4-a^2b^4+b^6)(a^16+a^14b^2-a^10b^6-a^8b^8-a^6b^10+a^2b^14+b^16)
…

手計算では計算が面倒ですね。特に因数分解ができるか、どうかを最後まで（素因数分解できるまで）調べるのはｎの次数が大きくなると、手計算だけでなく、数式ソフトを使っても大変で、時間も掛かります。

noname#101087 · Answer

>ｎが奇数の時の話です。

m が自然数の場合の公式、
　　c^m - d^m = (c-d)*[c^(m-1) + {c^(m-2)}*d + {c^(m-3)}*d^2 + ....... + c*{d^(m-2)} + d^(m-1)]
を使う手があります。
c=a, d=-b とおき、m=n(奇数)ならば...... 。

Tacosan · Answer

帰納法的に考えるってのはどうでしょ?
例えば
n = 1: a^n + b^n = (a+b)・1
n = 3: a^n + b^n = a(a^2 - b^2) + b^2(a^1 + b^1) = (a+b)[a(a-b)] + b^2[(a+b)・1]
= (a+b) (a^2 - ab + b^2)
n = 5: a^n + b^n = a^3 (a^2 - b^2) + b^2(a^3 + b^3) = (a+b)[a^3(a-b)] + b^2[(a+b)(a^2 - ab + b^2)]
= (a+b) (a^4 - a^3b + a^2 b^2 - ab^3 + b^4).
一般的に
a^n + b^n = a^(n-2) (a^2 - b^2) + b^2 (a^(n-2) + b^(n-2))
ですね.

N64 · Answer

（a+b）は因数には、必ずしもならないのではないでしょうか？
n=2 とした場合、a^2+b^2 の因数ではないではないかと、思いますが。
私の間違いなら、ごめんなさい。

a^n+b^nの因数分解の仕方

こんにちは。

A No.6です。

1+r+r^2+r^3+・・・+r^(n-1)=(1-r^n)/(1-r) において、

まず

>ｎが奇数の時の話です。

帰納法的に考えるってのはどうでしょ?

（a+b）は因数には、必ずしもならないのではないでしょうか？

この回答への補足

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