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a>0 b>0の条件で、
(a+3b)(1/a+3/b)≧16 を証明するんだけど、、、涙
ぜんぜんとけないんです。

10+3a/b+3b/aに左辺がなるまでできたんだけど
16にしなきゃいけないんだけど、
どうすればいいかがわかりません。
誰か教えてください。
お願いします。

A 回答 (5件)

左辺=1 + 3a/b + 3b + 9 = 10 + 3a/b + 3b/a



3a/b + 3b/aここで相加相乗平均をつかって

3a/b + 3b/a >= 2√3a/b * 3b/a = 6

10 + 3a/b + 3b/a >= 10 +6 = 16じゃない

等号は3a/b = 3b/a ⇔ a = bのとき
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
丁寧でわかりやすくって、
すっきりとしました。
これで宿題が、終わります。

お礼日時:2007/08/19 10:39

#4です。



失礼しました。
下から二行目、
(1/a+3/b)/4≧{(1/a)・(1/b)^3}^(1/4) に訂正します。
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a+3b=a+b+b+b


これの相加平均は、(a+3b)/4
相乗平均は、(a・b・b・b)^(1/4) 
に気が付けば簡単。

(a+3b)/4≧(a・b^3)^(1/4)
(1/a+3/b)/4≧{(1/a)・(3/b)}^(1/4)
より、(a+3b)(1/a+3/b)/16≧1
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
ごめんなさい、頭が悪いので
よくわからなかったのですが、
なんとか理解できました。

みなさん丁寧でどれを良回答
にしていいかわかりませんでした。
でもつけなくっちゃいけないので、
つかなかった方、すみません。

お礼日時:2007/08/19 10:44

a>0,b>0だから



両辺にa,bを乗じて相加相乗を使えば良いのでは?
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
シンプルで、かえってわかりやすかったです。

みなさん丁寧でどれを良回答
にしていいかわかりませんでした。
でもつけなくっちゃいけないので、
つかなかった方、すみません。

お礼日時:2007/08/19 10:44

そこまで来たなら、


(a+3b)(1/a+3/b)=10+3(a/b+b/a)と変形して、相加平均相乗平均の関係より、a/b+b/a≧2 (等号成立は a=b=1)となるから、
(a+3b)(1/a+3/b)=10+3(a/b+b/a)≧10+3*2=16.
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
わかりやすかったです。
宿題が、おわりました。
丁寧に答えてくださってありがとうございます。

お礼日時:2007/08/19 10:42

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