複素平面変換（z平面→w平面）

複素平面zから複素平面wへのw=z^4の変換を考えています。
z平面において単位円でθ=0～θ=π/4までの領域をwまで変換したいのですが、問題集の回答が違うような気がするので詳しい方ご教授願います。

自分の考え
まずz平面において単位円を考えているので
z=exp(iθ)とおける。
θ=0～θ=π/4までの領域を考えているので
θ=π/4として、
z=exp(πi/4)となる。
そして、w=z^4に代入すると、
w=exp(πi)となるので
w平面においても同様の単位円に投影され、
z平面での領域が
θ=0からθ=πの上平面に変換された。
というように考えたのですが、

問題集では、何故か下平面にも投影されているのです。
（円全体に投影ってことです）
どうなんでしょう？問題集の回答は正しいのでしょうか？
考えても納得がいきません。お願いします。

No.2 回答者： aquarius_hiro 回答日時： 2007/08/26 00:29

こんにちは。

ご質問文を読んだ限り、私もなぜ下半面にも投影されることになるのかわかりませんでした。ご質問文の計算は正しいと思います。

その問題の計算の出てくる前後の文脈がわからないので、他の可能性を考えてみました。

まず、最初の0≦θ≦π/4が実は、0≦θ≦π/2だったということや、-π/4≦θ≦π/4だっということはないでしょうか？

例えば、w=z^4の変換が、何かの積分をするなどの目的であり、その積分の被積分関数がθの偶関数なので、0≦θ≦π/4を、-π/4≦θ≦π/4に拡張してそのかわり1/2の因子をつけ、それからw=z^4の変換をしたということはないでしょうか？

そのようなことがなければ、単に誤植なのかもしれません。

No.1 回答者： info22 回答日時： 2007/08/25 23:29

z=x+iy=e^(iθ),θ=0～(π/2)

x^2+y^2=1,x≧0,ｙ≧0
とすると
w=u+iv
=z^4=e^(i4θ)=cos(4θ)+i sin(4θ)
u=cos(4θ),
v=sin(4θ)
u^2+v^2=1
w平面で半径1の円になります。
w=e^(iφ)=cosφ+i sinφとおき
φ=4θ
と対応させれば、
θ=0～(π/2)に対して
φ=0～2π
になります。