底辺C・高さhの弓形があります。
面積を求めるのに、webで調べたところ
S=面積
α=角度(DEG)
S = R^2/2(πα/180-sinα)
C = 2Rsin(α/2)
h = R-Rcos(α/2)
という公式が見つかりましたが、この公式だと、α・R(円半径)が既知でないと求まりません。
C・hの値だけから面積を求める方法は無いでしょうか?

また、とある計算書で、面積=C×h×(2/3)として計算してありましたが
これは正しいのでしょうか?概算として使うには充分なのでしょうか??

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A 回答 (5件)

関数電卓が使えることを前提に書きます。

(Windowsならアクセサリーの電卓使ってください)
今、弓形の両端をA,Bその中点をM,Mから上に伸ばして円と交わるところをPとすると
AB=C  (AM=C/2)
PM=h
ということですね。ところで元の円の中心からA,Pに線を引くとΔOAPは
二等辺三角形で点MはOP上の一点です。
∠APM(=∠APO)は三角関数tanの逆関数arcTanを使うと
∠APM=arcTan(C/2h)
で求まり、∠AOP(=α/2)=π-2∠APM
で求まります。また、これが分かれば
R=C/{2sin(α/2)}
で求めることができます。
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この回答へのお礼

ご丁寧な回答ありがとうございました。
うんうんうなりながらやって見たところ、うまく行ったようです。
(とりあえずエクセル使いました)

αについては、
 tan∠APM=(c/2)÷h=C/2h なので
 ∠APM=arctan(C/2h)
 α=2×(180°-2∠APM) ですね。
Rについては
 sin(α/2)=(C/2)÷R=C/2R なので
 R=c/{2sin(α/2)} ですな。
で、αとRから公式を使って求めるですね。
なるほどー、どうもありがとうございました(^-^)

お礼日時:2007/09/21 17:31

簡単な式にはなりそうもないですが、やってみますと


R=(C^2+4h^2)/(8h)
となります。また、
sin α=8Ch(C^2-4h^2)/(C^2+4h^2)^2
となりますから、
S=(C+4h^2)^2/(128h^2) (arcsin(8Ch(C^2-4h^2)/(C^2+4h^2)^2)-8Ch(C^2-4h^2)/(C^2+4h^2)^2)
となります。arcsin は逆三角関数です。
arcsin のテイラー展開で近似式を作ると、αが小さいとき
S=2C^3h(C^2-4h^2)^3/(3(C^2+4h^2)^4)
と近似されます。
さらにhがCに比べて非常に小さく、C^2-4h^2≒C^2+4h^2≒C^2
と近似できたとすると、
S=2Ch/3
と近似できます。
というわけで、この近似式はCとhの差がとても大きいときのみ有効な近似式です。
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この回答へのお礼

なるほど!テイラー展開で近似するとはっきりするのですね。
テイラー展開なんて大学で遊びほうけていたから全然わからなかったです・・・(ノ_・。)
すごいですねー尊敬してしまいます(^-^)
どうもありがとうございました!

お礼日時:2007/09/21 17:50

S=f(C,h)の式は


C=
h=
をRとαの連立方程式と見なして
R=
α=
を求め面積Sの式に代入してR,αを消去すればいいです。
ただその式が複雑になりますので、かえって
C=
h=
の式からC,hを与えて
R,αを求め
そのRとαを
S=
の式に代入した方がずっと簡単で計算が単純になりますよ。

>とある計算書で、面積=C×h×(2/3)として計算してありましたが
>これは正しいのでしょうか?概算として使うには充分なのでしょうか??

正しくないですね。
概算としても誤差(1割以上)が大きすぎて使い物になりません。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
確かにCとhの連立方程式になるのですが、三角関数が入っているので、数学苦手な私としては解くのは辛いです(ノ_・。)
三角関数の定理を使えばうまく消せるのかもしれませんが・・・

誤差については、ANo.5さんも回答くださいましたが
hよりCが相当大きくなれば誤差は小さくなるようです。
C>10hの条件で誤差1%未満となりました。

実は道路舗装面積の計算書のチェックをしているのですが
面積を分けるのに、大きな弓形部分を、二等辺三角形と、さらに小さな弓形2つに分けていました。
多分誤差を少なくするための処理だと思いますが、公式を使ったほうが精度良く計算できますね(^-^)

お礼日時:2007/09/21 17:46

半径をrとすると、


三平方の定理から、
(r-h)^2+(C/2)^2=r^2

α(rad)=2*atan{C/(2*(r-h))}

ただし、ここから先の計算はちょって…。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
確かにこれで、rとαは求まりそうな感じですね。
(r-h)^2+(C/2)^2=r^2 より
 r^2-2rh+h^2+c^2/4=r^2
 2rh=h^2+C^2/4
 r=h/2+c^2/8h
ですね。
ANo.3で解いたのと同じ答えになりました。
ありがとうございます(^-^)

お礼日時:2007/09/21 17:40

このサイトに公式あるからためしてみたけど、もとまるんじゃないかな?



http://www.lancemore.jp/mathematics/math_011.html
cとhがわかれば半径rが出せあとは、
面積の式に代入すればでるかとおもいます。
間違っていたらすいません。

参考URL:http://www.lancemore.jp/mathematics/math_011.html
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この回答へのお礼

ありがとうございます(^-^)
この公式を使えば、半径rは出ますが、
中心角のθ(質問ではα)が出ないです(ノ_・。)
中心角を求めるには円弧長Lが必要になるので、これも求まらないです・・・

お礼日時:2007/09/21 17:21

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=(1+1/(4*A1))^2*ASIN(4*A1/(4*A1^2+1))/(4*A1)+1/4-1/(16*A1^2) ……(誤)
ではなくて
=(A1+1/(4*A1))^2*ASIN(4*A1/(4*A1^2+1))/(4*A1)+1/4-1/(16*A1^2) ……(正)
ですね.(最初のところで 1→A1 となっています)

ミスを修正したほうの式で No.4 のお礼欄の数値を再現できました.


まとめると,
 係数 = (A1+1/(4*A1))^2*ASIN(4*A1/(4*A1^2+1))/(4*A1)+1/4-1/(16*A1^2)
 内角 = 2*ASIN(4*A1/(4*A1^2 + 1)) * 180 / PI()
 半径/b = A1/2 + 1/(8*A1)
です.

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Aベストアンサー

#2です。
見事に読み間違えてしまいすみません。
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L=2r×sin(θ/2)
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