「夫を成功」へ導く妻の秘訣 座談会

a,b,c,d を 0 でない実数として,y=f(x) を3次以上の多項式、例えば

y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

のとき,上式を微分した導関数 y'=f'(x) は,曲線の接線の傾きを表し、更に微分した第2次導関数 y"=f"(x) は,曲線の一部を円と見なした曲率円のほぼ曲率を表していますが、第3次導関数は,曲線の何を表していますか? 

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A 回答 (4件)

>更に微分した第2次導関数 y"=f"(x) は,曲線の一部を円と見なした曲率円のほぼ曲率を表していますが、



それは間違いです。
根拠を示してください。

この回答への補足

y=f(x) を微分した導関数 y’=f’(x) は、接線の傾きを表し、その角度を θ とすると、y’=tanθ で、両辺を微分すると、y”=sec^2θ・dθ/dx

∴ dθ/dx=y”/sec^2θ=y”/(1+tan^2θ)=y”/(1+y’) ・・・(1)

ここで、曲線 y=f(x) の微小部分を ds とすると、

ds=√(dx^2+dy^2)=dx√{1+(dy/dx)^2}

∴ ds/dx=√{1+(dy/dx)^2}=√(1+y’^2)  ・・・・・・(2)

なお、ds を半径 R の曲率円の一部とみなすと、ds=R*dθ で、
曲率 (1/R)=dθ/ds に式(1)と式(2)を代入すると、

  1/R=dθ/ds=(dθ/dx)/ (ds/dx)=y”/(1+y’^2)^3/2≒y” になります。

補足日時:2007/10/12 17:23
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この回答へのお礼

曲げモーメント M が作用する縦弾性係数 E、断面二次モーメント I の梁のたわみは、曲率(1/R)=y"=d^2y/dx^2 として、2階微分方程式

(1/R)=y"=d^2y/dx^2=M/EI

を解くことにより、たわみ角 θ および たわみ yを求めますが、貴方はご存知ないですか?

お礼日時:2007/10/12 17:48

> y"=f"(x) は,曲線の一部を円と見なした曲率円のほぼ曲率を表していますが、


こういう理解をしているのなら、y'''は、曲率の変化の度合いを表している、でいいのでは。
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この回答へのお礼

回答有難うございました。仰る通りなので、なんとなくイメージが掴めました。

お礼日時:2007/10/12 17:20

>y=ax^3 なら、y"'=6a になりますが・・・・6a は何を表していると云ったらいいのでしょうか?



高次微分の方向と逆方向に進めると、積分定数は抜きにして、∫y"'dx=y" ですよね。
従って、積分してy"になる量、つまり、その積分が曲率を表わす量ということを意味することに
なります。

力学では、m・(d^2x/dt^2)=F(t)において、力を表わすF(t)が時間の関数でその時間変化率が
分かっているとすると、m・(d^3x/dt^3)=F'(t) から、m・(d^2x/dt^2)=F(t)+(定数)という
運動方程式(質量が変わらないとしての話ですが)が得られます。
これはイメージが掴みやすい例でしょう。
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この回答へのお礼

回答有難う御座います。ニュートンの運動の第二法則ですね。なんとなく
イメージが掴めました。

お礼日時:2007/10/12 17:13

1年半ほど前の過去質問です。


なかなか良い回答がいくつも出ていますよ。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2038730.html
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この回答へのお礼

早速のご回答有難う御座います。なお,参考回答、拝見致しましたが

> y''' になると,正負の違い(y''の増加減少)すらグラフから読み取ることは難しいでしょう。

と、なっており、難しい問題なのですね。

所で、y=ax^3 なら、y"'=6a になりますが,この a が(+)なら,曲線が ∪ で,a が(-)なら曲線が ∩ の形になると思いますが、6a は何を表していると云ったらいいのでしょうか?

お礼日時:2007/09/27 21:53

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Q関数のグラフでy'''はなにを意味するのですか?

関数のグラフでy'は増減を、
y''は凹凸を意味しますが、
y'''はなにを意味するか強引にでも解釈したいです。

Aベストアンサー

y' は正ならば増加,負ならば減少だけでなく,絶対値が大きければ急勾配,小さければ緩勾配もわかります。
y''は正ならば凹,負ならば凸がわかります。しかし,放物線 y=x^2 はいたる所で y''=2 ですが,頂点の近くと遠くでは,凹み具合が全く違います。
逆に,円は膨らみ具合はどこでも同じなのに,y'' の値は違います。
曲がり具合(曲率)は y'' だけでなく y' も関係して決まります(参考URL「曲線の曲がり具合」参照)。
ですから,グラフを見て y'' の値の大小を読み取るのは難しいでしょう。
y''' になると,正負の違い(y''の増加減少)すらグラフから読み取ることは難しいでしょう。

参考URL:http://www.ss.u-tokai.ac.jp/~ooya/Misc/Shiryou/index.shtml