二重根号をはずしたいんですが・・・

問題）次の各式の２重根号をはずせ。ただし、ｘ＞１であるとする。

（１）√{x+2√(x-1)} 　(ルートのなかに、２ルートx-1があります）

（２）√{x-√(x^2-1)} （ルートのなかに、ルートx^2-1があります）

(2)に関しては、ルートの中のルートの中を因数分解して、考えたりしてるんですが、よく分かりません。

答えは、(1)が　1+√(x-1)
　　　　
　　　　(2)が　　√(x+1) - √(x-1)
　　　　　　　　─────────
　　　　　　　　　　　　√2　
となっています。お願い致します。

No.1 回答者： popo2 回答日時： 2002/08/19 17:35

x-1=tとおきますと、√{x+2√(x-1)}＝√{ｔ+1+2√t} となり

√{√t+１}＾２に因数分解できます。これが √t+１になるので元に戻して

　√(x+1)+１ になります
　

No.2 ベストアンサー 回答者： a-kuma 回答日時： 2002/08/19 17:44

二重根号をはずすときには、

√(a+b+2√(ab)) = √a +√b　　または
√(a+b-2√(ab)) = √a -√b

の形に持ってゆきます。問題は *解けるように* 作ってあるので、どちらかの形に
どうやって持ち込むかを考えます。

　√{x-√(x^2-1)}
＝√{x-√(x+1)(x-1)}　……………………………　※ 中の √ には 2 がついていて欲しいから
＝√{x-√(x+1)(x-1)}×√2÷√2
＝√{2x-2√(x+1)(x-1)}÷√2　……………………　※ ゴールラインの形を当てはめると
＝√{(x+1)-2√(x+1)(x-1)+(x-1)}÷√2　………　※ おおっ、ぴったり
＝{√(x+1) - √(x-1)}÷√2

No.3 回答者： tak2006 回答日時： 2002/08/19 17:55

(1)

√{x+2√(x-1)}
=√{x-1+1+2×√(x-1)×1}　　　　← -1+1=0,√(x-1)×1=√(x-1)
=√{(x-1)+1+2×√(x-1)×1}
=√(a^2+b^2+2ab)　　　　　　　　　← a=√(x-1),b=1と置く。
=√{(a+b)^2}
=a+b
=√(x-1)+1

(2)
√{x-√(x^2-1)}
=√{2x-2√(x^2-1)}/√2　　　　　　　←(a+b)^2の形にするため2abの2が必要
=√[x+1+x-1-2√{(x+1)(x-1)}]/√2
=√(a^2+b^2-2ab)/√2　　　　　　　　← a=√(x+1),b=√(x-1)と置く。
=√{(a-b)^2}/√2
=(a-b)/√2　　　　　　　　　　　　　←a>b且つ√>0なのでb-aとしないこと!!
={√(x+1)-√(x-1)}/√2

(1)も(2)も数字を付け加えるのがポイントです。
練習すれば簡単なのですが、初めは難しいかもしれません。
もしかしたら、正しい解き方では無いかも...

No.4 回答者： Mell-Lily 回答日時： 2002/08/19 17:57

公式

　√(a^2+2ab+b^2)=√(a+b)^2=a+b (a+b>0)
　√(a^2-2ab+b^2)=√(a-b)^2=a-b (a-b>0)
を利用します。

(1)
√{x+2√(x-1)}=√{√(x-1)+1}^2=√(x-1)+1 … (Ans.)

(2)
√{x-√(x^2-1)}=√{x-√(x+1)(x-1)}=√[x-2√{(x+1)/2}{(x-1)/2}]=√[√{(x+1)/2}-√{(x-1)/2}]^2=√{(x+1)/2}-√{(x-1)/2}={√(x+1)-√(x-1)}/√2 … (Ans.)