相関係数が１になるのはなぜ

データ群Ａとデータ群Ｂの相関係数を調べようとしています。
データ群Ａはy＝x
データ群Ｂはy＝２x－５
０＜＝x＜＝１０

このデータ群の相関係数を
共分散／（√Ａの分散×√Ｂの分散）
で計算すると相関係数が１となります。

明らかにデータ群ＡとＢが違っているのに相関係数が１になるのはなぜなのか、また、このデータ群の相関係数の正しい求め方を教えてください。
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： maccha_neko 回答日時： 2007/10/11 10:16

リンク先あたりを読むと良いかもです。

簡単に言えば「どのくらい比例関係（線形従属の関係）に近いか」を示す指標のようなものなので、比例していれば１（または-1)になります。

y=ax+bで、
ｘの平均値をｐとすれば、ｙの平均値はap+bですからｙの分散は
√Σ(a(Xn)+b-(ap-b))^2
=√Σ(a(Xn-ap))^2
=√Σ(a・（Xn-p)）^2
=a・（√Σ(Xn-p)^2）

一方、ｘのほうはというと
√Σ(Xn-p)^2
なんで、両者を掛け算すると、
a・（√（Σ(Xn-p)^2）^2）
=a・（Σ(Xn-p)^2）

で、分子を見ると、
Σ(xn-p)(a(Xn)+b-(ap-b))
=Σ(xn-p)(a・（xn-p)）
=a・(Σ（xn-p)^2)

なーんだ、一緒ジャン・・・とな

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B8%E9%96%A2% …

この回答へのお礼

ありがとうございます。
確かに比例しているから相関係数は１ですね。
では、データＡ群とＢ群がどれだけ近いかを示す指標はどのように求めるのか教えていただけませんでしょうか。
よろしくお願いします。

お礼日時：2007/10/11 14:15

No.3 回答者： Ishiwara 回答日時： 2007/10/16 13:27

データＡとデータＢが互いに関数関係で結ばれているときに相関係数を求めるのは無意味です。

今回は１次式なので、あなたが間違いに気付くことができましたが、もし２次式だったら相関係数が±１にならないので、気付かないまま過ちを犯したでしょう。
相関分析とは「互いにゆるい関係で結ばれている」場合に、そのゆるさ（きつさ）を求めるものです。「一方を決めれば他方が一意に決まる」といった「１００％きつい関係」の場合には、行いません。

No.2 回答者： backs 回答日時： 2007/10/11 11:15

数式的にはNo.1さんの回答の通りなのでしょうが、コンピュータを使って確かめてみるのが一番手っ取り早いというか、わかりやすと思いますよ。

Excelでもできますが、簡単なのはRでやることです。ダウンロードしてインストールするのが面倒で嫌ならweb上で試すこともできます(http://bayes.math.montana.edu/Rweb/Rweb.general. …。

以下のコードをそのままコピペして、[Submit]ボタンをクリックすればOKです。

# ここから
x <- seq(0, 10, 0.01)
groupA <- x
groupB <- 2*x - 5
soukan <- cor(groupA, groupB)
plot(groupA, groupB, main=soukan)
# ここまで