オススメの数学の勉強法

Question

自分は頭が悪いので、ひたすら問題集をしたりと、何も考えずに勉強しています。ですが部活の親友は勉強をしている時間が、自分より少ないのに、点数はいつも上です。（悔しいです。）

　ちょっと聞いてみたら「勉強の仕方を覚えれば簡単だよ。」と親友に言われました。前までは自分と同じだったみたいです。そこで、その《勉強の仕方》と言う物について考えたいんですが、皆さのオススメの勉強法を教えてください。

とらえず自分の情報を・・。

・授業についていけずに、帰ってから家でひたすら考えるタイプ。（はっきり言って、先生が言ってる事一つ一つに突っ込みをいれたくなる。そして自滅する。）

・案の定頭が疲れてしまい、だらだらになってしまう。

・勉強する事がかなり苦痛。

・とりあえず、人並み以上の点数を取りたいので、効率がいくら悪かろうが、ひたすら勉強。（ひどい時は、３０分に一問程度しか進まない事も・・・。）

・理解力が乏しい。（無駄にいろいろとひねくった事を考えてしまい、結局わからなくなる。）

といったところです。回答してくださる方は出来れば、専門家の方に教えていただきたいです。こうゆう質問をすると、「とにかく勉強。」とか短文でなにも回答になっていない事があるので・・。
自分の回答に責任を持てる方のみおねがいします。
後、勉強の仕方で困っているのは数学のみです。

masudaya · Accepted Answer

自分で一歩一歩考えるのは大事なことで,
このように考えて分かることは,うれしいですよね.
この方法は時間がかかりすぎるという面もあります.
ただ独りよがりになるといけないので,ほかの人にも
聞いたほうが良いですよ.
また,とことんまで自分で考えるというのは
(前に応えたように,社会に出ても役に立ちますし)
これから生きて行く上で大事になっていくと思います.

>八分の三÷五分の四っていったいどうゆうこと？と言うことをしつこく聞きいたことですね。（八分の三÷五分の四は例です。）
これは今でもうまく説明できずに、原理はわかっていても、実際どんな物になるか図で表すのって困難じゃないですか？

これはこんな風に考えることができるかと...
3/8[リットル]の水があり,4/5[リットル]入るコップがある.
コップに水を入れると,コップのどこまで水が入りますか？

このときは,基準がばらばらなので,基準をそろえて考えましょう.
12[リットル]の水を作るには,3/8[リットル]では32回,4/5[リットル]では15回です.
なのでコップで15回汲むともとの水32回分になるので
答えが15/32になるわけです.もっと統一的に考えるために
12[リットル]のところを1として,やるとひっくり返して掛け算になる
ということの説明になります.

noname002 · Answer

No.７のかたへのお礼欄の＜期末の点数＞を見せていただいて驚きました。よくガンバッていらっしゃいますね。苦手だと仰る数学でも、この点数なのですから、努力の賜物でしょう、向上心がお強いのですね、感心です。これで、あと他の回答者のかたがたも仰っている「考えかたのコツ」のようなものを突き止められたなら万全です。でも、そこのところが今の問題のようですね。
御質問の冒頭
＞部活の親友は勉強をしている時間が、自分より少ないのに、点数はいつも上です。（悔しいです。）←（この感情、大事なのですって。）
ここで、かつてキューバ革命などで大活躍したラテンアメリカの革命家、チェ・ゲバラという人のことを思い出しました。
彼は医学の学生であった頃、学業を中断して長期のバイク旅行に出たそうですが、ふらり舞い戻って来て大学の試験を受けると、これが常にトップの成績をおさめるので、いったい、いつ勉強しているのかと驚かれたという話を、むかし私は読んだことがあります。（とてもカッコイイ人ですよ。質問者様も、お勉強の合間の気分転換に、もし御興味があれば彼の伝記を読んでみてください）

ANo.4のかたが仰る
＞数学がわかるとか得意と言っている学生には，実は考えが浅い子が多いです．

私も、身近の人間で思い当たります。
学校の成績が良い人いわゆる優等生は、要領がいい人が多いと、よく言われるようです。
あるいはガンバってガンバってガンバって、とにかく、がむしゃらにガンバることで辛うじて、ある程度の水準を維持している人もいます。もちろん、これほどまでに頑張れるということ、それ自体が才能だという考えかたもあります。
でも、どうでしょうか。
いわゆる研究者、ものごとの成り立ちを根本から追究していく人は、ただ要領がいい、ただガンバる、それだけではない、それよりももっと大きな要素が必要みたいです。
たとえばパソコンにしても、その原理や仕組みのことはサッパリ知らなくても分からなくても一応使いこなすことは大概の人にできます。でも、その原理や仕組みを知りたくて追究したり研究したりする人もいますね。専門家や研究に従事する人には必要な資質でしょう。

実は私自身、学生時代、数学が大の苦手でした。勉強しない。当然、成績はボロボロなんてもんじゃなかったです。でも得意科目については、全く勉強したこともないのに、常に成績はトップクラスでした。それは、なぜかと言うと、根本的なところを　自然に　会得できている面があるので、あとは応用で融通が利くのです。
ANo.4、ANo.6のかたの御意見には特に私も共感をおぼえましたが
＞「考え方をマスターすると，一気に全ての分野に応用することができるようになる」
私の場合、得意科目については、ですよ。つまり私は、およそ「勉強」というものをしたことがなかった；
なぜ数学が苦手かというと、まず公式を覚えるのが厭だったんです。公式の意味を尋ねても、とにかく公式さえ暗記すれば一応、問題は解けるのだから、まずは覚えなさい、と言われても、意味が把握できていないことを把握できていないまま、とにかく暗記するということが、どうにも厭でたまらない性分でした。このあたりで、すでに「優等生」から遠ざかっているんですね。でも以前に、このサイトで、数学が得意だったというかたに「本当は、あなたのような人が理数系に向いているんです」と言われたことがあって、すごく驚きました。

ところで質問者様は
＞・理解力が乏しい。（無駄にいろいろとひねくった事を考えてしまい、結局わからなくなる。）

と仰っていますが、これこそ「矛盾」したことですよ。
自分が考えていることが「無駄にいろいろとひねくった事」であるという判断がつくのは、「理解」できているからこそ下せる判断ではありませんか？
なぜ「無駄にひねくった事」だと分かっていることを考えたり質問したりするのですか？
それとも「無駄」なことでも「ひねくった事」でもないと本心では思っているから追及するのですか？どちらなのでしょう？

話を噛み合わそうとして噛み合わない場合、自分側が問題の本質をつかめていなくて、その質問もピントがぼけたものになり、したがって、その質問を聞いた側も何をどう説明したものやら分からなくなる、という悪循環になることが多いです。
また「文脈」（辞書で確認してみてください）というものにも注意が必要です。これが食い違っていると話は永久に平行線です。
あるいは、突っ込んだってしょうがないようなことを敢えてワザワザ質問して相手を困らせるような「ヘリクツ言いのイチャモンつけ」をやりたがる人もいますが、質問者様の場合は本当に困っていらっしゃるのでしょうから、こういうタイプではないのだろうと思います。

算数とか数学は特にそのようですが、自分が、どこで何につまづいているのか突き止めないと先に進みにくいようです。その点、国語などは正解があるようで、ないようなもので、そうとう曖昧な面を含んでいる分野ですが、数学は曖昧さを嫌いますから、その点、質問をするにあたっても気をつけなければならないことではないでしょうか。ということは、質問者様は、まず自分は何が分からなくて質問しようとしているのかということを、よく整理しなくてはいけないということになります。

ここでちょっと苦言を申し上げますが、この御質問本文自体も、けっこう曖昧です。たとえば
＞先生が言ってる事一つ一つに突っ込みをいれたくなる。そして自滅する。

「突っ込み」とは、どういう種類の突っ込みなのか。なぜ「先生が言ってる事一つ一つに突っ込みをいれたくなる」のか。「自滅」するのは、なぜなのか。
なぜ「無駄にいろいろとひねくった事」だと自覚してることを考えるのか。
これらの点だけでも相当曖昧で回答しにくいと感じるのも事実です。ですからNo.７のかたが迷いながら参考意見としてレスされたのは無理もないことだと思います。それでも「我流でとことん考えている人は、将来有望と思います。」と仰ってくださってるじゃありませんか。
「言語的思考能力」には問題ないものと御自身で判断できておられるのであれば、問題は別のところにあるということになります。いったい、どこにあるのか。そこを明らかにせねばなりません。

質問者様は、飽くまで学校の成績重視のスタンスですか、それとも根本から数学というものを理解したいのでしょうか。

それと
＞専門家の方に教えていただきたいです。こうゆう質問をすると「とにかく勉強。」とか短文でなにも回答になっていない事があるので・・。

私に言わせれば、こういう問題こそ、優秀な専門家センセイよりも、もと劣等生で、にもかかわらず苦労して何とか人並みのレベルを維持できるよう克服した、という人の話が参考になるのです。
生まれついて優秀で苦労せずにこなせてこれた人の意見など何の参考になるものか、とも思います。
私の叔父は幼稚園児の頃からズバ抜けた優秀さで教師たちを驚かせ、ＩＱ２００を超えているらしいとか聞いておりますが、その弟である下の叔父が高校時代に、勉強で分からないところを質問したところ、「そんなカンタンなこと質問してるようじゃダメだ」と一蹴され、全然教えてもくれなかったそうです。
下の叔父だって名門校の優等生でしたが、もっと優秀な上の叔父に言わせれば下の叔父は「凡庸でアタマが悪い」のだそうで。（私なんか、どうしたら。。。しくしく；）
従って！私も「専門家」ではありませんが投稿させていただきました。このサイトは少くとも質問者が回答者を選べるシステムではありません。
また「自信」があろうとなかろうと、それは飽くまで回答者側のつごうに過ぎません。トンだ誤回答であっても「自信」マンマンで答える人もいるのです。実際のところ「自分の回答に責任」など持ちたくても持てません。責任は（「荒らし」は言語道断の例外として）数ある投稿のなかから質問者本人が、どれを有効なものと見なして選択するのか、基本それに尽きます。

＞・勉強する事がかなり苦痛。
　・とりあえず、人並み以上の点数を取りたいので、効率がいくら悪かろうが、ひたすら勉強。（ひどい時は、３０分に一問程度しか進まない事も・・・。）

ちょっと、お疲れ気味かもしれませんね。効率が悪いとしたら、そのせいもあるのではないですか。
他の回答者様も仰っている「勉強の仕方も一定の決まりがあるわけではなく」
やはり御自分なりのコツを体得されるまでは試行錯誤でしょう。それもまた良し。

過去質です。御参考に。
『頭の悪さに悩んでいます』
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=2277529

stomachman · Answer

ANo.7に付けられたコメントを拝見しました。

> ただ一つ言えるのは気に食わなかったら無視をしてくれ。と書くのはおかしいです。

　いえいえ、そんなこと書いてませんよ。回答の内容には自信がありますが、お気に召すかどうかは勿論別です。で、このサイトでは質問や回答が気に入らなければ単に無視するということになってますから、質問者さんもそれに従うだろう、というだけのことです。

　さて、ご質問とは打って変わった理路整然たる文章を拝見して、なるほど、どういうご事情なのか概ね推察が付きました。国語の成績が良いにしても、もとよりそれとは関係ない問題なわけで、いや、大変ですね。
　ならば、学校の授業よりもどんどん先に進むのが一番適した方法かと思います。教科書を終わらせたら、次の教程（上級の学年や、上級の学校の教程）の、一段レベルの高い内容を独習でやる。同級生がまだ全然やってないところを先取りするんです。授業は、勉強のスピードを上げたぶん取りこぼしたところを捕足するための復習であると位置付ける。これなら勉強に伴う「苦痛」はかなり緩和されるでしょうし、やがて試験ゲームなど鎧袖一触。

stomachman · Answer

> 出来れば、専門家の方に教えていただきたい

と仰るところにしゃしゃり出たものかどうかちょいと迷いましたが、ま、気にくわなきゃ無視なさるだろ、というので書き込むことにします。

　いつも我流でとことん考えている人は、将来有望と思います。数学に限らず、研究やビジネスにおいても同じで、重要なブレークスルーをもたらすのはまさしくそういう人ですから。
　ただ、

> 先生が言ってる事一つ一つに突っ込みをいれたくなる。
> なかなか話が合わないんです。
> 聞いても解決出来ない事が経験上わかっている

これらのご発言が大げさではないのだとすると、ひょっとすると数学よりも、むしろ国語力の問題かも知れません。ここで国語力と言うのは「如何に主人公の心情に共感できるか」なんて馬鹿な話じゃなくて、

● 論理的思考ができるか。明確な論証を積み重ねて結論に至ることができるか。他人の論証を正確に理解し、的確に批判できるか。（一番重要な「おかしいところ」にツッコミを入れられるか。）
● 自分の考えを言葉で明確に表せるか。言葉を正確に使って、伝えたいことを旨く伝えられるか。
● 抽象的な言葉で語られたことを、（ただの単語の列としてではなく）具体的な例を構成して解釈し、理解することができるか。
● 他人の発した不完全な言葉から、他の情報（既に聞いた事、知っている事）と辻褄が合う解釈を自分で構成することによって、真の意味を推察できるか。

などの、言語的思考能力のことです。

> 勉強の仕方で困っているのは数学のみ

と仰っていますが、どうですかね？

 それはさておき、数学で人並み以上に点が取れるようになる効率的な勉強方法を、というのがご質問でした。ならば：
　数学自体の面白みなどどうでも良い事です。数字や記号の操作の意味なんて余計なことは一切考えなくて良いです。単に「今日は何ページはかどった」だとか、「試験で何点取った」だとかの無意味な指標（ポイント）に一喜一憂するゲームだと思えば良いのです。
　で、このゲームの攻略法ですが、学校の数学は要するにパターンの暗記です。実社会で出くわす問題とは違って、定期試験に出る問題は習ったうちのどれかのパターンの通り。だから、どのパターンに当て嵌まるかを見分ければ良いのです。問題集をやるときにも問題を「パターン」で分類して、「あの問題とこの問題は同じパターンで、同じやり方が使えるな」という問題の相互関係、類似性をしっかり意識することです。そして、パターンと解法とをセットにして暗記するんですよ、意味など考えずに。くだらねーとか言わないで。
（これは、暗記力だけで数学を乗り切ったと豪語する友人に教わったやりかたです。）

　というわけで、結論：

　他人との競争である「学校数学勉強ゲーム」と、大抵の他人には及びもつかぬ希有な才能を伸ばす「しつこく考え続ける習慣（数学でも、国語でも）」は、全く別物だと思って分けて活動なさると良いと思いますよ。

　すると、前者で経験した多くの「問題」について再考することによって、沢山の例を元にした豊かな考察ができます。逆に、後者で得た深い理解や洞察を元にして、「ゲーム」においても「いつものパターンのあてはめだけでは無理な難問」を攻略できるようにもなるでしょう。

ddtddtddt · Answer

少なくとも高校までの数学は、考えなくても必ず正解にたどりつける手順が存在する範囲に限られています。なので訓練と努力次第で、難問と言われる問題を除けば、全てに答えが書けるようになるというのは、あながち嘘ではないと思います。だけど「考えなくても正解にたどりつける手順」が問題なんですよね。よくあるパターンは「だから、とにかく勉強。」って奴ですが、でもこれは「ひたすら問題集をしたりと、何も考えずに勉強する」のと同じだと思いませんか？。
　以下は回答者の皆様に反対しているわけではありませんが、この路線に属するのは、#2，#3さんだと思います。さっきの理由から、#2さんの「高校課程までの数学ならば理解にこだわらず、まず解法に慣れることが大事です」は真実です。
　ですが対極の方法もあります。#4さんですが、やはり効率の問題があります。でも「考え方をマスターすると，一気に全ての分野に応用することができるようになる」と「多くの問題を解くよりも，一つの良問を時間をかけて考える方が良い」も本当ですよ。「一つの良問を・・・」の部分は結局は、#2さんの「解法に慣れること」ですし、「一気に全ての分野に・・・」の部分は自分でも経験します。本当に公式を理解すると爆発的に自分の数学性能が上がるのを実感できます。あなたの友人は、そのような経験をしたのだろうと思います。いずれにしろ勉強に時間がかかるのは当たり前ですが、数学の点数は訓練量に一見比例しないところが味噌です。100点とるのに10の勉強が必要なら、8までは0点のままかもしれません。でも8を越えた時に、80点，90点と飛躍的に点数は伸びます。
　私自身は、あなたと似たような傾向があったと思います。やった事は、教科書本文の理解、特に公式の導出の理解でした。書き写しておぼえるのは苦手だったので、

　(1)公式が必要とされる動機付け、つまり目的は何か？

　(2)公式の導出は、
　　前提　→　導出ステップ　→　結論
　となりますが、(1)に沿って、何故その前提を選ぶべきなのか？

　(3)導出ステップにおいて、何故そのような式変形を選択する必要があるのか？。その動機は？、目的は？

　(4)得られた結論は、(1)に見合ったものか？

という事を、かなり徹底的にやりました。ねっ、時間かかりますよね。でもこれらは十分な練習なんです。これらを越えた後では、そんなに練習問題を解かなくてもよくなりました。
　そしてこれらは、#1さんの「どこが分かっていて,何が分からないのか,そこを分かるには何をすれば良いのかという話の流れを作っていくこと」と同じだと思います。現実には、#4さんと#2さんのどこかで妥協します。どこかで妥協できる能力も、現実には非常に大事です。もちろんその場合には、「妥協しても良い理由」を考える事が前提です。

　長々と書きましたが、私は現在社会人なのに、数学科の学生なので、いちおう現役のつもりです。数学はやれば出来ますって。

tinantum · Answer

>授業についていけずに、帰ってから家でひたすら考えるタイプ。（はっきり言って、先生が言ってる事一つ一つに突っ込みをいれたくなる。そして自滅する。）

私の経験上，こういうタイプの子はむしろ数学者に向いています．
数学では一見簡単そうに見える問題でも，深く考えると全然自明でない問題が数多く存在します．はっきしいって，数学がわかるとか得意と言っている学生には，実は考えが浅い子が多いです．もちろん学習段階に応じた理解をすればよいので問題があるというわけでもないですが，あなたのようなタイプの子はぜひとも妥協せずにしつこく考え抜いてみるとグッと数学の力が伸びると思います．ただし一人では限界があるので，数学の先生やよくわかっている友達（もしくはここで質問するとか）にわからない点をしつこく聞いてください．

ちなみに，こういう勉強法をすると，広範囲をカバーすることができず問題があるという人もいますが，数学というものは考え方をマスターすると，一気に全ての分野に応用することができるようになります．よく言われることですが，多くの問題を解くよりも，一つの良問を時間をかけて考えて，できれば何通りかの解放を身につけるような勉強法をしたほうがよいということもあります．

＞専門家の方に教えていただきたいです

一応私は数理物理学の研究者です．院生時代は塾講師や家庭教師を長年していましたので，老婆心ながらアドヴァイスを書いてみました．ただ学問には王道はないので，最終的にはあなたの信じる方法で頑張ってください．

noname#43759 · Answer

模範解答を一行一行理解しながら、書き写して覚える。

模範解答でわからない部分があれば、教科書や参考書を細かいところまで読む。

簡単な公式は、自分で導き出せるようにする。（公式の出し方も上記のような方法で書き写す。）

mikuru-a · Answer

私は、まず教科書の「例」を必ず写していました。例題に納得できたら、練習問題を解きます。いきなり練習問題をといても、それこそ「無駄にいろいろ考えてしまって疲れる」からです。
数学が出来る人は、だいたい解法を覚えています。暗記、という形よりは、自然に覚えてるって感じですが。
また塾講師や家庭教師を５年やっていて気づいたのですが、数学が苦手な子には、最初から公式の成り立ちや原理を理解しなきゃと思い込んでいる子が多いです。最初は何もわからなくても、解き方そのものが身についていけば、しばらくしておのずと「こういうことか」とふと納得できるものです。高校課程までの数学ならば理解にこだわらず、まず解法に慣れることが大事です。

しかし先生が言ってる事一つ一つに突っ込みをいれたくなる、とはどんな突っ込みなのか、教える側としては興味ありますね。

masudaya · Answer

基本はストーリー(話の流れ)を理解することと思います.
(これは,基本項目もそうですし,入試問題でも同じです.)
ちなみに,数学や物理などは,分かってしまえば,
たいしたこと無いけど分からないと思いつきもしない
ということがよくあります.
少し考えて分からないのであれば,
先生も含めほかの人に聞くほうが良いでしょう.
気のいい先生なら何時間でも付き合ってくれたりします.
(20年以上前の話ですが...)

正確には,勉強の仕方も一定の決まりがあるわけではなく,
人によって,会う会わないがあるので,あまりあわない方法なら
別な方法を取り入れるべきです.

質問者さんがされている,自分だけで考えるという勉強法もあり,これで成果を上げている人もいます.実際の社会に出たときは質問者さんが感じている."無駄にいろいろとひねくった事を考えてしまい、結局わからなくなる。"ということはよくあることです.この対策は,どこが分かっていて,何が分からないのか,そこを分かるには何をすれば良いのかという話の流れを作っていくことが大事です.

オススメの数学の勉強法

No.７のかたへのお礼欄の＜期末の点数＞を見せていただいて驚きました。

ANo.7に付けられたコメントを拝見しました。

> 出来れば、専門家の方に教えていただきたい

少なくとも高校までの数学は、考えなくても必ず正解にたどりつける手順が存在する範囲に限られています。

自分で一歩一歩考えるのは大事なことで,

>授業についていけずに、帰ってから家でひたすら考えるタイプ。

この回答への補足

模範解答を一行一行理解しながら、書き写して覚える。

私は、まず教科書の「例」を必ず写していました。

基本はストーリー(話の流れ)を理解することと思います.

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　少なくとも高校までの数学は、考えなくても必ず正解にたどりつける手順が存在する範囲に限られています。