No.4
- 回答日時:
>ただ、anが単調減少といきなりいわれてますが、これの証明はどの様にやったらいいのでしょうか?
自分で証明してごらん。
やることは同じです。
an+1 と an の差をつくって評価する訳です。
つまり、両辺から an をひいて考えるわけです。
それはもう自分で考えたかな、と思って説明を省いちゃいました。
因みに、本でも説明を省いてあることは良くあるが、そういう時は、自分でよく考えてみることが大事ですよ。(書いた人が間違えていて、いくら考えても分からないこともあるけどね。^^;だから、ある程度考えて分からなければ質問することも大事やね)
でわ。
a{n+1}-a{n}=(a{n}-a{n-1}+3((1/a{n})-(1/a{n-1})が常に負になるかどうかは、考えてはみたのですが、帰納法で証明しようかとかごちゃごちゃやってみてたんですが良いアイデアが出てこなかったのですよ_| ̄|○
No.3
- 回答日時:
見やすいかどうかはわかりませんが,自分で書いていてわかりやすいので
数列{an}を{a_n}と表現させてもらいます。あしからず。
相加相乗平均を使ったということは問題の式がa_{n+1}=((a_n)^2+3/a_n)/2の間違いのような気がしますが…?
以下はそう仮定した上で話を進めたいと思います。
a_n≦√3であることがわかったら,
a_{n+1}-a_n≦0であることがわかりますね,つまりはa_nは単調減少の数列ということです。
tecchan22さんの指針通り計算しようとすると
a_{n+1}-√3={(a_n-√3)^2}/2a_n≦{(a_n-√3)^2}/2√3となり,
ここでa_n-√3=b_nと置き直すと(ここでb_nも単調減少の数列),
b_{n+1}≦(b_n)^2/2√3となります。
題意よりb_n→0が示せればよいので,
b_1=a_1-√3=2-√3≦1なので,
b_n≧0であることも考え,
b_{n+1}≦(b_n)^2/2√3
⇒b_{n+2}≦(b_{n+1})^2/2√3≦(b_n)^4/12√3
…とやっていくとb_n≦1なので,b_n→0となることがわかります。
見づらくなりまして申し訳ございません。
誤植などありましたらスルーしてください。
この回答への補足
>a_{n+1}=((a_n)^2+3/a_n)/2の間違いのような気がしますが…?
問題文は、a_{n+1}=(a_{n}+3/a_n)/2であってますよ。
もし、a_{n+1}=((a_n)^2+3/a_n)/2だと、a_nがαに収束すると仮定すると、
α=(α^2+3/α)/2
2α^2=α^3+3
0=α^3-2α^2+3 (1)
ここで問題ではαは√3なのですが、式(1)に√3を代入すると、3√3-3となり、設問とずれてしまいます。
No.2
- 回答日時:
ありゃりゃ。
(失礼)an+1 - √3 = (an - √3)^2/2an
となるでしょう?
いま√3≦an≦2(単調減少ですから)だから、たとえば、
an+1 - √3 ≦ (an - √3)(2 - √3)/2√3
だから、
(2 - √3)/2√3 = (2√3 - 3)/6 = 0.076・・ ・・※
より、まあ適当に※より大きくて1より小さい数を選んで、(0.1にしましょうか)
an+1 - √3 ≦ (1/10)(an - √3)
と出来ます。^^
あとは出来ますでしょう?
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