直行行列による対角化

先ほど質問させていただいたのですがもう一度…
次の対称行列を直行行列によって対角化せよという問題で、その行列は
1 1 2
1 2 1
2 1 1
の3行3列の行列です。
私の解き方は固有値、固有ベクトルを求め、固有ベクトルから
グラム・シュミットを利用してe1,e2,e3を求め、それを縦に並べたのを
Pとおき、Pの逆行列を求め、P＾-1APを計算するというやり方です。
やっていて、疑問に思ったのがPと置くときe1,e2,e3の並べ方はどのように
並べても最終的な答えは変わらないのでしょうか??
回答ではPの値は、()はルートを表しています。
1/(3) 1/(6) 1/(2)
1/(3) -2/(6) 0
1/(3) 1/(6) -1/(2)
となっているのですが私は
1/(6)　1/(3) 1/(2)
-2/(6) 1/(3) 0
1/(6) 1/(3) -1/(2)
となっています。これでも問題なく解けますか??
また私のPの場合Pの逆行列はどうなりますか??
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： noname#50894 回答日時： 2008/01/14 14:20

元の行列の固有値は-1,1,4でしょうかね

-1に対する固有値、t(1/(2),0,-1/(2))
1に対する固有値、t(1/(6),-2/(6),1/(6))
4に対する固有値、t(1/(3),1/(3),1/(3))

回答は、固有値4,1,-1に対応する固有ベクトルの順に、直交行列を作った。
kita813さんは、固有値1,4,-1に対応する固有ベクトルの順に、直交行列を作った。

…のでしょう。
従って、対角化された行列の数字の並びは対応の仕方によって違ってきます。

>これでも問題なく解けますか??
どちらも、正しいですね。

数学の本に載っている証明を、そのように問題意識を持って読み直しましょう。
更に、理解は深まります。
見方を変えると、数学の証明はそのように読むべきです。

No.2 回答者： noname#50894 回答日時： 2008/01/14 14:26

No.1に追加がありました。

>また私のPの場合Pの逆行列はどうなりますか??

直交行列ですから、tPPは単位行列です。
逆行列は、計算しなくて良いので楽ですね。

この回答への補足

なるほど、そうでしたね。
おかげさまで楽に解けるようになり解らしいのが求まりました。
私のPで求めた結果
1 0 0
0 4 0
0 0 -1
となりましたがこれであっているんでしょうか??

補足日時：2008/01/14 16:26

No.3 回答者： noname#50894 回答日時： 2008/01/14 18:44

>私のPで求めた結果

>1 0 0
>0 4 0
>0 0 -1
>となりましたがこれであっているんでしょうか??

私も同じ答えになりました。これで良いと思います。