sorgenfrey直線

「sorgenfrey直線Sの中の二つの部分集合A、Bについて、Cl（A∩B）≠Cl（A）∩Cl（B）となるようなA,Bの例をあげ、その理由を説明せよ。」
※Cl（A)はAの閉包のことです。

証明付きで詳しく教えていただけないでしょうか？

No.4 ベストアンサー 回答者： ojisan7 回答日時： 2008/01/17 20:09

>sorgenfrey直線の部分集合でなぜ[0,1]や(1,2)のような閉区間、開区間が存在するのですか？

これは文章の解釈上の問題かもしれませんが、A,BはＳの部分集合であると判断するのが普通です。開集合であるとは限りません。実際、No.2さんのQ,Pも右半開区間で表現することは困難ですよね。Q,Pは開集合でも閉集合でもありません。

少し余計なことかも知れませんが、質問者さんは位相空間論が消化不良のようです。理解が不十分の状態でsorgenfrey直線を学ぶのは、頭が混乱するだけです。基礎を根本から理解することが必要だと思います。

それから、ちょっと気になったので、話のついでに一言述べさせてください。
sorgenfreyの位相では(1,2)は開集合です。したがって、右半開区間の和集合で表現することが可能です。しかし、[0,1]は開集合ではありません。No3を見れば分かるとおり、[0,1]は閉集合です。

sorgenfreyの位相がややこしいと感じませんか。位相空間が連結ではないし、「開集合かつ閉集合という区間」や、「閉集合であるが開集合ではない」という区間がりますからね。位相の初心者は頭が混乱するだけだと思います。ですから、この位相は学部（数学科の）レベルでは教えない方が良いと思います。もし、教えるとすれば、教える指導教官の頭を疑ってしまいます。

あれこれ書きましたが、No3を含めて、以上の証明は全てご自分で考えてください。以後、これ以上の回答はしません。

この回答へのお礼

丁寧に教えていただきありがとうございます。
とても納得できました。

たしかに位相空間論が消化不良です。
数学というより日本語の勉強をしている気分です。
基本的なところからこつこつやっていきたいと思います。

ありがとうございました。

お礼日時：2008/01/18 00:35

No.3 回答者： ojisan7 回答日時： 2008/01/16 20:39

sorgenfrey直線の位相は、第２可算公理を満たさない等々、奇妙な性質が多いですから、直感に惑わされないように注意しなければなりません。

また、半開区間[a,b)はsorgenfreyの位相では、開集合かつ閉集合です。本当に奇妙な位相ですね。

ところで、A,Bの例ですが、
A=[0,1]
B=(1,2)
とすればどうでしょうか。閉包の定義はご存知ですよね。sorgenfrey直線の位相での閉包です。分からなければ、復習をしてください。

明らかに、
Cl(A∩B)＝Cl(φ)＝φ
ですね。他方、
Cl(A)＝[0,1)∪{1}
Cl(B)＝[1,2)
ですから、
Cl(A)∩Cl(B)＝{1}
即ち，等号は一般には成立しないことがわかります。

この回答への補足

ありがとうございます。
そこで、本当に初歩的でとんちんかんな質問かもしれないので大変恐縮なのですが、
sorgenfrey直線の位相は、右半開区間[a,b)全体の部分集合族から構成されているのですよね？
そのsorgenfrey直線の部分集合でなぜ[0,1]や(1,2)のような閉区間、開区間が存在するのですか？

補足日時：2008/01/16 23:18

No.2 回答者： naruse 回答日時： 2008/01/15 11:39

例えば，有理数の全体を Q，無理数の全体を P として A＝Q, B＝P とでもすればよいでしょう。

(*) Cl (A∩B)＝Cl (φ)＝φ.
他方，(**) Cl (A)＝Cl (B)＝R なので，
Cl (A)∩Cl (B)＝R.
即ち，等号は一般には成立しないことがわかります。

(*)，(**)は考えている位相，即ち Ts の定義から容易に示せますので質問者ご自身で確認してみてください。

なお，この例の A, B は R の通常位相で考えても等号が成立しない例にもなっています。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
ちなみに、
なぜ、QおよびPの閉包がRになるのか説明していただけないでしょうか？

お礼日時：2008/01/16 20:05

No.1 回答者： ddgddddddd 回答日時： 2008/01/14 22:55

いちおうsorgenfrey直線の定義を書いてください。

この回答への補足

「空集合φ、実数全体の集合R、および右半開区間[a,b)全体から構成されるRの部分集合族をΒとするとき、ΒはR上の位相Tsを生成し、位相空間(X,Ts)をSorgenfrey直線と呼び、Sであらわす。」

と理解しています。

補足日時：2008/01/15 09:40