Taylor展開の問題について

大学一年生です。
f(x,y)=x^2+xy-2y^2の点(1,2)におけるTaylor展開を求めよ。

という問題なんですが、教科書の公式に当てはめてもkやhやθが出てきてしまい答えが合いません。。ちなみに答えはx,yと数字のみなんですが公式の意味の取り違えなんでしょうか？
かなり困っているんでどなたか分かる方よろしくお願いします！

No.4 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2008/02/03 12:29

>教科書の公式に当てはめてもkやhやθが出てきてしまい答えが合いません

計算しきってないんでしょう？

>f(x,y)=x^2+xy-2y^2の点(1,2)におけるTaylor展開を求めよ。

なんていわれて，とくに次数も指定されてないだから，
級数展開を要求されてるわけだし
剰余項は考えない・・というか途中で止めたりしない
＃もっとも練習で「1次まで」と「剰余項」を計算してみるのは
＃とてもよいこと

それにfは二次式なんだから3回（偏）微分すれば0になるはず．
Taylor展開ってのは存在すれば一意だから，
気合でやればTaylor級数の式にあてはめなくたってOK

そもそも公式の取り違えっていうか・・公式にこだわって，
意味も理解せずにを暗記しても大学の数学はわかりませんよ．
＃ここらへんが高校で数学が得意でも大学でこける原因の大半．

x^2+xy-2y^2
=A(x-1)^2+B(x-1)(y-2)+C(y-2)^2+D(x-1)+E(y-2)+F　・・・(1)

を係数比較すれば，
A=1，B=1，C=-2，F=-1なのは明らか
x=y=0とx=y=1でも代入すればDとEも計算可能

計算がめんどいなら展開公式を考えるんなら
A=F_{xx}(1,2)/2
B=F_{xy}(1,2)
C=F_{yy}(1,2)/2
D=F_{x}(1,2)
E=F_{y}(1,2)
F=F(1,2)
ってところだろうか．
けど，これらの式だって，係数比較するまえの式(1)を
偏微分してみればみえるでしょう．
実際にやってみればあのTaylor級数の式がいかに
自然かが体得できるでしょう．

No.3 回答者： info22 回答日時： 2008/02/02 23:52

あなたの作成した解答を補足に書いてください。

それによって回答者が間違っている箇所をチェックしてアドバイスします。

解答を途中のプロセスとともに書いて頂かないと、解答の仕方の間違いやどこで間違っているかわかりません。回答者が丸解答すれば、丸投げ質問に丸解答となって質問が削除対象になります。つまり質問者が分かる範囲で解答を書いて質問して頂く事がこのサイトでは質問者さんのマナーとして要求されているのでその点を考慮して質問をしてアドバイスや回答（解答ではありません）を求めてください。

幾ら展開しても式を整理すればf(x,y)の式に一致するはずです。一致しなければ解答が間違っているという事です。
展開式は g(x-1,y-2)の形の式になります。

括弧をはずし式を整理すればf(x,y)に戻りますので、展開式g(x-1,y-2)が正しいかのチェックをするようにして下さい。

No.2 回答者： Meowth 回答日時： 2008/02/02 22:56

kやhやθが出てくる

あなたがただしい、
それでいいんです。
自信をもちましょう。
ただ、答えはx,yと数字のみなら
f(1+x,2+y)
の展開式でしょう。ｈはｘ、ｙ、1次までならｋ＝１　
残差を無視するならθの項はなし

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/02/02 22:44

>公式の意味の取り違えなんでしょうか？

そうです。