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証明問題で疑問があります。
[問]確率変数Xの積率母関数がe^(4(e^t-1))である。P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.931を示せ。
[解] f(t):=e^(4(e^t-1))と置くと,
f'(t)=4e^te^(4(e^t-1)),f"(t)=16e^(2t)e^(4(e^t-1))+4e^te^(4(e^t-1))
からf'(0)=4,f"(0)=20
よって E(X)=4,E(X^2)=20
これから P(4-2・2<X<4+2・2)=P(0<X<8)=P(1≦X≦7)
から先に進めません。どうすればいいのでしょうか?
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
> P(1≦X≦7)=P(X=7)-P(X=1)
これがダメです.こんな等式は成立しません.
(確率が負になった時点で何か変だと気づきましょう)
P(1≦X≦7) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7)
なので
(4^1/1! + 4^2/2! + 4^3/3! + 4^4/4! + 4^5/5! + 4^6/6! + 4^7/7!) e^{-4}
を計算することになります.まじめに計算すると 0.9305... になります.
> P(1≦X≦7) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7)
> なので
> (4^1/1! + 4^2/2! + 4^3/3! + 4^4/4! + 4^5/5! + 4^6/6! + 4^7/7!) e^{-4}
> を計算することになります.まじめに計算すると 0.9305... になります.
このように計算するのですね。とても勉強になります。
お陰様で一歩前進できました。
No.2
- 回答日時:
平均μのポアソン分布の積率母関数 E(e^(tX)) = e^{-μ(1-e^t)}
ですから、与えられた積率母関数は、平均 μ = 4 のポアソン分布の積率母関数です。
分散 σ^2 = μ = 4 ですから、σ = 2
P(X=i) = {4^i / (i!)} e^(-4) から P(0<X<8) を計算すれば 0.9305...
本来、積率母関数というのは分布関数を求めるためのものではないので、この積率母関数の形をみて、ポアソン分布だと分かりますか?という問題なんだろうと思います。
ご回答誠に有難うございます。
> 分散 σ^2 = μ = 4 ですから、σ = 2
> P(X=i) = {4^i / (i!)} e^(-4) から P(0<X<8) を計算すれば 0.9305...
えーと、
P(0<X<8)=P(1≦X≦7)=P(X=7)-P(X=1)=
4^7/7!e^-4-4^1/1!e^-4=16384/5040/54.59800313096579789056-4/1/54.59800313096579789056
=-0.013727885227819941596716763721082
となってしまったのですが何処が間違っていますでしょうか?
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