教えてください

ｘの不等式ｘ^２－(ａ^２＋ａ)ｘ＋ａ^３＜０がある。ただしａは正の定数とする。
上の不等式を満たす整数ｘが４個だけ存在するようなａの値の範囲を求めよ
という問題なのですが、どのような時に等号がつくのか分かりません。簡単だと思いますが、どうもピンとこないので、教えて下さい。

No.4 ベストアンサー 回答者： hinebot 回答日時： 2002/10/31 18:54

#2さんの解き方を参考に説明しますと

1≦aのとき
　　　a<x<a^2・・・・・(2)

ここで、a=√6とすると(2)式は √6<x<6 で、この範囲にある整数は3,4,5の３つで
題意を満たしません。よって√6＜a 側の等号はついてません。

一方、a=√7とすると(2)式は √7<x<7 で、この範囲にある整数は3,4,5,6の４つで題意を満たします。よってa≦√7 側には等号がつきます。

こんな説明で良いでしょうか？

この回答への補足

お礼を書いた後に思ったのですが「１＜ａ＜２の範囲で考えたとき５＜ａ^２≦６となり、√5＜ａ≦√6になる」と解答に途中経過であるのです。結局条件を満たさず不適になるのですが、この場合の≦√6も同様に考えればいいのでしょうか？もし、同様にしたら題意を満たさないので＜√6になるのではないでしょうか・・。変な質問かもしれませんが、もう少し教えていただけたら幸いです。

補足日時：2002/10/31 23:28

この回答へのお礼

納得しました。なんか、深く考えすぎていたようです。有難うございました。

お礼日時：2002/10/31 23:11

No.7 回答者： eatern27 回答日時： 2002/11/01 13:58

#5です。

＞xが4つの整数解を持つためには少なくともa+3<a^2<a+5でなければならない、
といきなり書いてしまったのですが、これは理解できましたか?

xの最小の整数解をtとすると、整数解はt,t+1,t+2,t+3なので、
t-1<a<t<t+1<t+2<t+3<a^2<t+4 が成り立ちます。

t-1<aよりt+4<a+5、a<tよりa+3<t+3 が成り立つので、
a+3<t+3<a^2<t+4<a+5すなわち

a+3<a^2<a+5
というわけです。

No.6 回答者： hinebot 回答日時： 2002/11/01 09:13

3回目です。

>この場合の≦√6も同様に考えればいいのでしょうか？

そうですね。同様に考えると矛盾しますよね。
ガウス記号[]ってご存知ですか？
X を実数，n を整数としたとき，n ≦ X < n+1 ならば，[X]=n である
と定義したもので、言葉で言えばその値を超えない最大の整数ということに
なります。このｎの側の不等号には等号がついてますよね。
基本的にはこれと考え方は一緒なんですけどね。（問題の場合は、等号がついている側の境界が左右（大小）逆になってますけど。）

以下の説明なら納得いただけるでしょうか。
「√5＜ａ≦√6」の右側の境界値（この場合は√6）までは、a<x<a^2の間の整数の個数は同じということです。
この境界値をわずかでも超えると、その(境界値)^2が整数になるので、
a<x<a^2の間の整数の個数が(境界値)^2の分１つ増える訳です。
つまり、a<x<a^2の間の整数の個数が同じであるaの範囲が、左は等号含まず、右は等号含むわけです。

No.5 回答者： eatern27 回答日時： 2002/10/31 19:37

x^2-(a^2+a)x+a^3<0

より(x-a^2)(x-a)<0
0<a=<1のとき0<a^2<x<a=<1・・・整数解を持たないので不適
1<aのときa<x<a^2
xが4つの整数解を持つためには少なくともa+3<a^2<a+5でなければならない。よって少なくとも(1+√13)/2<a<(1+√21)/2が成り立っている。・・・(1)
ここで5<(1+√13)^2/4<11/2<6、7<15/2<(1+√21)^2/4<8より√5<(1+√13)/2<a<(1+√21)/2<2√2であることに注意して・・・(1)

√5<(1+√13)/2<a=<√6のとき2<(1+√13)/2<a<x<a^2=<6より整数解は3個・・・(2)
√6<a=<√7のとき2<√6<a<x<a^2=<7より整数解は4個
√7<a<(1+√21)/2<2√2のとき2<√7<a<x<a^2<8より整数解は5個・・・(2)

以上より√6<a=<√7

(1)のところはなくてもかまいません(気にしないで下さい)。その場合は(2)の(1+√13)/2と<(1+√21)/2を消して下さい。これを書いたのはa>2√2のときの上手い証明方法が見つからなかったというだけです。(明らかにとかでもいいかも)
＞どのような時に等号がつくのか分かりません
等号が成り立つときです。
おそらく、この説明では不十分だと思いますが・・・、何を聞きたいのかを明確にして下さい。

No.3 回答者： Zincer 回答日時： 2002/10/31 18:04

解いていないのであまり自信は有りませんが

「ｘ^２－(ａ^２＋ａ)ｘ＋ａ^３＝０」
の解（要するにｘ軸との交点＝ａのみの関数）と「不等式を満たすｘの範囲」の関係は知っていますよね。
「不等式を満たす整数ｘが４個だけ存在する」
ですから、２つの交点の差（α－β）が
４＜（α－β）＜＝（以下）５
と、いうことではないでしょうか？

No.2 回答者： fushigichan 回答日時： 2002/10/31 17:48

こんにちは。

ちょっと自信ないんですが・・

x^2-(a^2+a)x+a^3<0を変形すると、
(x-a^2)(x-a)<0と因数分解できます。
したがって、この二次不等式の解は
a>0ですから
0<a<1のとき
　　　a^2<x<a・・・・・(1)
1≦aのとき
　　　a<x<a^2・・・・・(2)
ということがいえます。

ここで、(1)のとき、0<a<1としたら0<x<1となって不適。
したがって(2)の場合で考えていきます。

a=1のとき、1<x<1でそのようなXは存在しない。
a=2のとき、2<x<4で条件を満たすXはx=3のみ。
a=3のとき、3<x<9で、条件を満たすXはx=4,5,6,7,8の５個ある。
a=4のとき、4<x<16で条件を満たすXはx=5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15の１１個ある。
aが大きくなると、条件を満たすXの数は増えるので
整数解Xが４個存在するaの範囲は
2<a<3 となる。

aが正の整数だったら、これでいいと思うのですが、
例えばa=2.5を代入すると2.5<x<6.25となりx=3,4,5,6となるので
ちょうど４個の整数解が存在するのですが・・

No.1 回答者： hinebot 回答日時： 2002/10/31 17:19

>どのような時に等号がつくのか分かりません。

等号って？

>ｘの不等式ｘ^２－(ａ^２＋ａ)ｘ＋ａ^３＜０がある。ただしａは正の定数とする。
>上の不等式を満たす整数ｘが４個だけ存在するようなａの値の範囲を求めよ
この問題の中には、どこにも等号（という言葉も記号も）出てきませんが？

いったいどういうことでしょうか？

この回答への補足

説明不足でした。
まず、私なりの答えは√6＜ａ＜√7なのですが、解答を見てみると√6＜ａ≦√7になっているのです。なぜａ≦√7になるかを知りたいわけです。分かりにくくてすみませんでした・・・。

補足日時：2002/10/31 18:02