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座標変換のことについての質問です。
現在、テンソル解析をしていて、
y=f(x1,x2,x3)
x=g(y1,y2,y3)
の座標変換を考えています。

この二つの座標変換が、可逆で、一対一対応していることを説明したいのですが・・・。

この際、関数行列式(ヤコビアン)が0になってしまうと、逆行列が存在せず、
逆変換が、出来なくなってしまうようなのですが、これはどうしてなのでしょうか?

そもそもヤコビアンが0になってしまうと逆変換が出来なくなると言う認識は正しいでしょうか?

ヤコビアンが0になると、逆行列が出来なくなる理由、逆変換が出来なくなる理由を、簡単でもかまいませんので、
教えてください。

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A 回答 (1件)

>ヤコビアンが0になってしまうと逆変換が出来なくなると言う認識



ヤコビアン≠0は、逆変換が存在する十分条件であって、必要条件ではありません。
例えば、実3次元の変換 f : (u, v, w) → (u^3, v^3, w^3) は可逆ですが、
(u, v, w) = (0, 0, 0) で ヤコビアン=0 になります。
可逆な座標変換について考察するときは、そういうモノまで含めると煩瑣になるので、
ヤコビアン≠0 を仮定して、対象を限定してしまうことが多いのです。

>逆変換が出来なくなってしまうようなのですが、これはどうしてなのでしょうか?

逆変換ができないのは、もとの変換が一対一対応でない場合です。
次数を落として1次元の場合を考えると、わかり易いのでは?
y = f (x) のヤコビアンは f ' (x) ですが、
f ' (x) = 0 となる x を含む区間では、f () の逆関数はどうなるでしょうか。
f (x) = x^2 などの具体例で考えましょう。

>逆行列が出来なくなる理由、逆変換が出来なくなる理由を

逆行列が出来なくなる理由は、ヤコビアン(=ヤコビ行列式)が0のとき
ヤコビ行列が正則でないからです。ここが難しいなら、線型代数を復習しましょう。
高校の教科書でも十分だと思います。

逆変換が出来なくなる理由は、極大雑把には、座標変換は一点の近傍では
その点でのヤコビ行列を掛ける一次変換のようなもの(~で近似できる)なので、
ヤコビ行列が不可逆なら変換も不可逆だということです。正式な定理は参考URLを。

参考URL:http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_function_th …
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Qヤコビアンとはなんですか?

ヤコビアンとはなんですか?
数学が苦手でなかなか理解できないのでできるだけわかりやすく解説してください。
どうやって出しているのかもできたら教えてください。

Aベストアンサー

例えば、dxdyというものをx、y→r、θのように変数変換したとき、後者は次元が一個落ちる。それを補う際の比率をヤコビアンが与えるという意味かな。

円筒座標ならr、球座標ならr^2sinθといったようになる。
一般の変数変換ときにも成り立つように、偏微分を使った行列式(ヤコビアン)を使ってあらわされるんだよ。

Q微分可能なのに導関数が不連続?

一般にm回微分可能でも(d^m/dx^m)f(x)は連続ではないそうですが(本で読みました。)
f(x)が微分可能で、導関数f'(x)が連続でないような関数f(x)の例を教えてください。

傾きが不連続(導関数f'(x)が不連続)なのに滑らか(微分可能)ってのがどうもイメージできないので。

Aベストアンサー

oodaiko先生とだぶってしまったので補足します。
(私が書き始めたときは回答者数0だったもので・・・)

f '(x)=2x sin(1/x)-cos(1/x) がx=0で連続でないことを示します。
すなわち、
lim(x→0) f '(x) が存在しないことを示します。
「lim(x→0) f '(x) が存在するならば
0に収束する任意の数列An,Bnについて
lim(n→∞) f '(An)=lim(n→∞) f '(Bn)
が成り立つ。」
という定理があったことを思い出してください。
An=1/(2nπ)、Bn=1/(2nπ+π/2) としますと
lim(n→∞) f '(An)=lim(n→∞) {1/(nπ) sin(2nπ)-cos(2nπ)}
 =lim(n→∞) (-1)=-1
lim(n→∞) f '(Bn)
 =lim(n→∞) {2/(2nπ+π/2) sin(2nπ+π/2)-cos(2nπ+π/2)}
 =lim(n→∞) (2/(2nπ+π/2))=0
よって、lim(n→∞) f '(An)≠lim(n→∞) f '(Bn)
「 」の定理の対偶を考えると、
lim(x→0) f '(x) が存在しない
ことが分かりますね。

ところでoodaiko先生に質問したいのですが。

>lim_{x→0} ( 2x sin (1/x) - cos (1/x))
>= lim_{x→0} 2x sin (1/x) - lim_{x→0} cos (1/x)

の部分です。
lim(f(x)+g(x))=lim f(x)+lim g(x)
が成り立つのは
lim f(x)、lim g(x)がそれぞれ存在するとき
ですよね。でもlim_{x→0} cos (1/x) は存在しない・・・
実は私が読んでいた本でもoodaiko先生のように証明しているんです。
何か特殊な事情でもあって、この場合は例外的に
lim(f(x)+g(x))=lim f(x)+lim g(x)
が成り立っているのでしょうか。

oodaiko先生とだぶってしまったので補足します。
(私が書き始めたときは回答者数0だったもので・・・)

f '(x)=2x sin(1/x)-cos(1/x) がx=0で連続でないことを示します。
すなわち、
lim(x→0) f '(x) が存在しないことを示します。
「lim(x→0) f '(x) が存在するならば
0に収束する任意の数列An,Bnについて
lim(n→∞) f '(An)=lim(n→∞) f '(Bn)
が成り立つ。」
という定理があったことを思い出してください。
An=1/(2nπ)、Bn=1/(2nπ+π/2) としますと
lim(n→∞) f '(An)=lim(n→∞) {1/(nπ) sin(2nπ)-...続きを読む

Qヤコビ行列式とは?

ヤコビ行列式∂(x、y)/∂(r、θ)と
∂(r、θ)/∂(x、y)をx、yの関数およびr、θの関数の2通りの式で求めたいのだが変数がたくさんある上に、偏微分の意味がいまいち分かってないのでやり方を教えてください。ヤコビ行列式ってなんですか?

Aベストアンサー

#2のKENZOUです。
ヤコビ行列式∂(x,y)/∂(r,θ)をきちんと書くと
∂(x,y)/∂(r,θ)≡|∂x/∂r ∂x/∂θ|  (1)
         |∂x/∂r ∂x/∂θ|
ですね。ここで≡はと定義されるというような意味です。 x=rcosθ,y=rsinθ  (2)
ですからrとθでそれぞれ偏微分すると
 ∂x/∂r=cosθ,∂x/∂θ=-rsinθ  (3)
 ∂y/∂r=sinθ,∂y/∂θ=rcosθ
となります。これを(1)に代入すると
 ∂(x,y)/∂(r,θ)≡|cosθ -rsinθ|  (4)
          |sinθ  rcosθ|
ヤコビ行列式の値を|∂(x,y)/∂(r,θ)|と書くと
 |∂(x,y)/∂(r,θ)|=rcos^2θ+rsin^2θ=r (5)
>∂(r,θ)/∂(x,y)が何故行列式になるんですか?計算方法が読んでも理解できませんでした。
(4)式より
 ∂(r,θ)/∂(x,y)={∂(x,y)/∂(r,θ)}^-1
         =|cosθ -rsinθ|^-1
          |sinθ  rcosθ|
         =(1/r)×
           |rcosθ -sinθ|  (5)
           |-sinθ  cosθ| 
ここで逆行列の計算方法を使いました。これについては適当な線形代数のテキストを参照してください。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=725812

#2のKENZOUです。
ヤコビ行列式∂(x,y)/∂(r,θ)をきちんと書くと
∂(x,y)/∂(r,θ)≡|∂x/∂r ∂x/∂θ|  (1)
         |∂x/∂r ∂x/∂θ|
ですね。ここで≡はと定義されるというような意味です。 x=rcosθ,y=rsinθ  (2)
ですからrとθでそれぞれ偏微分すると
 ∂x/∂r=cosθ,∂x/∂θ=-rsinθ  (3)
 ∂y/∂r=sinθ,∂y/∂θ=rcosθ
となります。これを(1)に代入すると
 ∂(x,y)/∂(r,θ)≡|cosθ -rsinθ|  (4)
          |sinθ  rcosθ|
ヤコビ行列式の値を|∂(x,y)/∂(r,θ)...続きを読む

Q「ノルム、絶対値、長さ」の違いについて

あじぽんと申します。よろしくお願いします。

ベクトルや複素数などに出てくる「ノルムと絶対値と長さ」というのは同じことを違う言葉で表現しているのでしょうか?
手元にある書籍などには全てが同じ式で求められています。
同じ式で表現されていても意味は少しづつ違っていたりするのでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して定義できます。
数に対しては「長さ」という言い方はあまり聞かないと思います。
例えば、「3」の長さというような言い方は耳になじまないと思います。
一方、ベクトルの場合は、「矢印」という「線」になりますので「長さ」が定義できます。



最後の「ノルム」は、線形空間に対して定義できます。(もちろん実数、複素数やベクトルも線形空間です)
ノルムの条件を満たせばノルムになるため、複数のノルムが考えられます。
そのため、「(1,1)というベクトルに対するノルムは?」
という質問に対しては、「どのノルムを使うか?」という条件が欠けているため厳密に言うと「解答はできません」。
例としてよく扱われるノルムは「ユークリッドノルム」と言われ、通常のベクトルの長さと等しくなります。

ベクトルに対するノルムでは、「最大値ノルム」というのが他の例としてよく使われます。
これは、ベクトルの各要素の最大値で定義されます。
(例:(3,1,5)というベクトルの最大値ノルムは、3つの数字の最大値である5になります)

ノルムというと、線形空間であれば定義できるため、
f(x) = 3x^2+5x
という数式に対するノルムというのも考えられます。
(数式は、定数倍したり、足し算したりできますよね)
数式に対して「絶対値」とか「長さ」と言ってもピンと来ないですよね。

しかし、まだやられていないかもしれませんが、数式に対するノルムというのは存在します。


そうすると、なんでこんなんがあるねん。って話になると思います。

ここで、ベクトルに対してある定理があったとします。

それがさっきのような数式など他の線形空間でも成り立つんだろうか?
というのを考えるときに「ノルム」の登場です。

その定理の証明で、「ベクトル」として性質を使わずに「ノルム」の性質だけを使って証明ができれば、
それは「ベクトル」に対する証明でなくて「ノルムを持つもの」に対する証明になります。
(ちょっと難しいかな?)


このようにして、定理の応用範囲を広げるために「長さ」や「絶対値」の考え方をベクトルだけでなく「線形空間」という広い考え方に適用できるようにしたのが「ノルム」になります。

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して...続きを読む

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Q陰関数の定理がわかりません

陰関数の定理について、
証明はまだ習わないで、定理だけいきなり出てきたのですが、
読んだだけではいまいち意味がつかめませんでした。
この定理が何をいおうとしているかわかり易く
説明していただけないでしょうか?
(漠然とした質問で申し訳ありません)
___________________________________
 陰関数の定理:
f(x, y) をR2 におけるC1 級関数とし,
点(a, b) において
f(a, b) = 0; fy(a, b) ≠ 0とする.
このときa を含むある小さな開区間I をとれば
I の上で定義されたC1 級関数
y = φ(x) で次の条件を満たすものがただ1つ存在する:
b = φ(a),
f(x, φ(x)) = 0 (x は 閉区間I内),
さらに
φ’(x) = -{fx(x, φ(x))}/{fy(x, φ(x)}
が成立する.
___________________________________

Aベストアンサー

とりあえず,もうちょっと偏微分や関数の勉強を
頑張ってください.
何か根本的な部分を勘違いしている可能性があります.

>f(x,y)=0はそもそもxy平面上でのことで、3次元ではないのに、
>どうやって“fy(a, b)”を考えることができるのでしょうか?
>fy(a, b)は3次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

これは次のように表現を変えてみましょう

f(x)=0はそもそも数直線上でのことで、2次元ではないのに、
どうやって“f'(a)”を考えることができるのでしょうか?
f'(a)は2次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

おっしゃってることが「おかしい」ことがお分かりになりますか?

f(x,y)というのは,R^2上の関数fの点(x,y)での値です.
したがって,z=f(x,y) と考えれば,これは
確かにR^3での「グラフ」になります.
これは y=f(x) が平面のグラフになることと同じです

翻って,f(x,y)=0 というのは,
R^2の点(x,y)でf(x,y)=0となる点(の集合)のことです.
これは f(x)=0 の場合は「解」に相当しますが,
f(x,y)=0も「解」(の集合)とみなせばいよいだけです.

また,偏微分f_y(x,y)も単に点(x,y)での値に過ぎませんので
3次元とか考えずに計算できます.

陰関数の定理というのは,
陰関数f(x,y)=0を,y=φ(x)という形で表現できる
ということを(特定の条件下で)保証する定理で
実際は,いろいろな理論の根底で使われます.

とりあえず,もうちょっと偏微分や関数の勉強を
頑張ってください.
何か根本的な部分を勘違いしている可能性があります.

>f(x,y)=0はそもそもxy平面上でのことで、3次元ではないのに、
>どうやって“fy(a, b)”を考えることができるのでしょうか?
>fy(a, b)は3次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

これは次のように表現を変えてみましょう

f(x)=0はそもそも数直線上でのことで、2次元ではないのに、
どうやって“f'(a)”を考えることができるのでしょうか?
f'(a)は2次元的に...続きを読む

Q大学院別のTOEICの合格点を教えてください。

大学院入試でTOEICの点数を英語の点数として換算している大学院が多くあると知ったのですが大学院別にどのぐらいが合格点なのでしょうか?
東大の院生の平均点が730というデータはネットでみたのですが他のいろいろな大学院について教授からや友達からの情報でもいいので参考にさせてください。

Aベストアンサー

このサイトに、大学院入試でTOEIC(R)Testを活用する52の大学院が、
国公立、私立別で掲載されており、
ある一定のスコアで、英語の独自試験免除など、詳しい情報が見れます!

参考URL:http://www.toeicclub.net/graduateschool.html

Qlim[n→∞](1-1/n)^n=1/e について

こんにちは

lim[n→∞](1+1/n)^n=e
が成り立つことは簡単に示せるのですが、
lim[n→∞](1-1/n)^n=1/e
となることの証明はどのようにすればいいのでしょうか?
ご存知の方がいらっしゃいましたらご回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

e=lim(1+t)^(1/t)   〔t→0〕
がeの定義なので、(t→+0でもt→-0でもOK)
-1/n=tとおきます。

n→∞のとき、t→-0なので、
(与式)=lim(1+t)^(-1/t)   〔t→-0〕

これを変形すると、
=lim{(1+t)^(1/t)}^-1   〔t→-0〕
=e^-1
=1/e

高校の範囲なら、この証明で大丈夫です。

Q逆関数の偏微分

自分は工学部の学部生です.
偏微分に関する質問です.
  x=x(u,v), y=y(u,v)
において,
  u=u(x,y), v=v(x,y)
と変形せずに(逆関数を求めずに),
  ∂u/∂x, ∂v/∂y
を求めたいのです.(たしか逆関数を求めずに逆関数の偏微分を求める方法があったと記憶しております) そこで,
  (1)逆関数を求めずに,∂u/∂x, ∂v/∂yを求める方法
もしくは,
  (2)微分(偏微分)の本のどこを参考にすれば解るか
を教えていただきたいです.よろしくお願いいたします.

Aベストアンサー

とりあえず、
dx=∂x/∂u du+∂x/∂v dv
dy=∂y/∂u du+∂y/∂v dv
をdu,dvについて解いてやった時のdxなどの係数が∂u/∂xなどに対応します。

Q行列の正定・半正定・負定

行列の正定・半正定・負定について自分なりに調べてみたのですが、
イマイチ良くわかりません。。。
どなたか上手く説明していただけないでしょうか?
過去の質問の回答に

>cを列ベクトル、Aを行列とする。
>(cの転置)Ac>0
>となればAは正定値といいます。
>Aの固有値が全て正であることとも同値です。

とあったのですが、このcの列ベクトルというのは
任意なのでしょうか?
また、半正定は固有値に+と-が交じっていて、
負定は固有値が-のみなのですか?

どなたかお願いしますorz

Aベストアンサー

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列ではないAの固有値がすべて正だからといって、
(cの転置)Ac>0とは限りません。
例えば、
A =
[ 1 4 ]
[ 0 1 ]
とすると、Aは対称行列ではなく、固有値は1です。
しかし、
(cの転置) = [ 1, -2]
とすると、
(cの転置)Ac = -3 < 0
となってしまいます。(実際に計算して確かめてください。)
なので、行列Aが対称行列であるという条件はとても重要です。

また、半正定値の定義は、上の定義で
『ゼロベクトルではない任意の』 --> 『任意の』
と書き直したものです。
このとき、半正定値行列の固有値はすべて0以上です。(つまり0も許します。)
逆に、対称行列の固有値がすべて0以上なら、その行列は半正定値です。

さらに、負定値の定義は、『ゼロではない任意の』ベクトルcに対して
(cの転置)Ac<0
となることです。
固有値についてはもうわかりますね。

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列...続きを読む


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