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数列{2,4,7,11,16,22,29、・・・}について、
次の問いに答よ。
(1)段差数列の第n項をbnとするとき、bnをnの式で表せ。
(2)もとの数列{2,4,7,11,16,22,29、・・・} 
の第n項(n≧2)をanとするとき、anを階差数列の
第k項を使って、Σを用いて表せ。ただし計算はしないでよい
(3)上の(2)の計算をして、n≧2のときanを求めよ。
(4)Σ_[k=1,n]a(k)を求めよ。

私が解いてみた答は
(1)がbn=n+1
(2)が2+Σ_[k=1,n-1](a+1)(k)
で、(3)がわかりません。
(4)は全然見当もつきません。
よろしくおねがいします。

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A 回答 (4件)

書き方が統一されていないようなのでこっちで勝手に決めさせていただきます。

anはAnと書き、bnはBnと書きます。そしてΣの範囲ははΣ[ k=0 to n ]のように書く事にします。
(3)n≧2のとき
  An=2+Σ[ k=1 to n-1](k+1)
=2+Σ[ k=1 to n-1]k+Σ[ k=1 to n-1]1
=2+(1/2)(n-1)n+(n-1)
=n^2/2+n/2+1
 この式にn=1を入れてみると
   A1=1/2+1/2+1=2となり、この式はn=1のときも使えますね。
   An=n^2/2+n/2+1 (n≧1)
(4)Σ[ k=1 to n ]Ak
=Σ[ k=1 to n ](k^2/2+k/2+1)
=(1/2){Σ[ k=1 to n ]k^2
+Σ[ k=1 to n ]k+Σ[ k=1 to n ]2}
=(1/2){(1/6)n(n+1)(2n+1)
+(1/2)n(n+1)+2n}
=(1/12)・n{(n+1)(2n+1)+3(n+1)+12}
=(1/12)・n(2n^2+6n+16)
=(1/6)・n(n^2+3n+8)
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こんにちは!


階差数列は{2,3,4,5,6、・・・}
だから、bn=n+1というのはそれでOKですね。
(1)bn=n+1
(2)n≧2のとき、an=Σ[k=1,n-1]bk + a1
(3)an=Σ[k=1,n-1](k+1) +2
=Σ[k=1,n-1]k +Σ[k=1,n-1]1 +2
=n(n-1)/2 +(n-1) +2
=n^2/2 + n/2 +1
これにn=1を代入すると、a1=2となって、n=1のときも成立。
よってすべての正の整数nについて
an=n^2/2 +n/2 +1
(4)さて、n≧2のとき、
Σ[k=1,n]ak=Σ[k=1,n]{k^2/2 +k/2 +1}ですから、
=Σ[k=1,n]k^2/2 +Σ[k=1,n]k/2 +Σ[k=1,n]1
=1/2Σ[k=1,n]k^2 +1/2Σ[k=1,n]k +Σ[k=1,n]1
  =1/2×1/6n(n+1)(2n+1) +1/2×n(n+1)/2 + n
=n/6(n^2+3n+8) ・・・(1)
ここで、n=1を代入すると、Σ[k=1,1]ak=a1=2
で、成立するので、すべての正の整数nに対して(1)は成り立ちます。
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#1です.


訂正で,
#2さんのご解答が正しく
a(n)==(1/2)(n^2+n+2)
はn=1でも成り立つので,分けなくて良いですね.
>(3)の答の一般項の式はn≧2のときは成り立つが,n=1と置くと不成立なので,
これはウソでした.
回りくどくなりました.(値は正しく出ます.)
#1の(4)は無視してください.
でも,ときどきは初項を別扱いの問題もありますよー(無意味ないい分け.)
他山の石として頑張って下さい.
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>(1)がbn=n+1


正解です.

(2) 階差数列{bn}から元の数列の一般項a(n)を求める公式
n≧2のとき
a(n)=a(1)+Σ_[k=1,n-1]b(k)=2+Σ_[k=1,n-1](k+1)

(3)
和の公式 Σ_[k=1,n]k=(1/2)n(n+1)
で nを(n-1)で置き換える手もありますが,
等差数列の和と見て
和=(初項+末項)×(項数)÷2で
a(n)=2+Σ_[k=1,n-1](k+1)
=2+(2+n)(n-1)/2
=2+(1/2)(n^2+n-2)
=(1/2)(n^2+n+2)  [n≧2のとき]

(4)
(3)の答の一般項の式はn≧2のときは成り立つが,n=1と置くと不成立なので,
n=1のときは別扱いで a(1)=2
すると
Σ_[k=1,n]a(k)=a(1)+Σ_[k=2,n]a(k)=2+Σ_[k=2,n](1/2)(k^2+k+2)
=2+(1/2)Σ_[k=2,n](k^2+k+2)
=2+(1/2){Σ_[k=1,n](k^2+k+2)-(1^2+1+2)} [k=1の時を足してから引いた]
=2+(1/2){Σ_[k=1,n]k^2+Σ_[k=1,n]k+Σ_[k=1,n]2 -4}・・・(A)
ここで
Σ_[k=1,n]k^2=(1/6)n(n+1)(2n+1)
Σ_[k=1,n]k=(1/2)n(n+1)
Σ_[k=1,n]2=2n [←注意]
を用いると
(A)=2+(1/2){(1/6)n(n+1)(2n+1)+(1/2)n(n+1)+2n -4}
=(1/2){(1/6)n(n+1)(2n+1)+(1/2)n(n+1)+2n}
=(1/12)n{(n+1)(2n+1)+3(n+1)+12}
=(1/12)n(2n^2+3n+1+3n+3+12)
=(1/12)n(2n^2+6n+16)
=(1/6)n(n^2+3n+8) ・・・(答)
これは全てのn≧1で成立する.
[念のため,n=1で2,n=2で6,n=3で13]
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この回答へのお礼

oshiete_gooさん、丁重に教えていただいて
ありがとうございます。
パソコンの調子が悪く御礼が遅れてしまいました。
また、ポイントを差し上げられないこともあわせて
御詫びします。

お礼日時:2002/12/13 12:25

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