Euler-Lagrange方程式を導くとき δI=∫δL(q,q')dt と変分原理を使って
導出しますが、この作用積分値(I)の次元はどうなっているのでしょうか?
このあたりのご教示をいただければ嬉しいのですが。

A 回答 (3件)

空間の次元じゃなく、次元解析の次元、つまり単位の話かなぁ? ポイントはずしてたらごめんなさい。



 一般に、例えば
・y'の次元 = ∂y/∂xの次元 = ∂yの次元÷∂xの次元 = yの次元÷xの次元
・integral y dxの次元 = yの次元×dxの次元 = yの次元×xの次元
というように、∂y、dy, δyなどはみんなyと同じ次元を持つと考えて扱っちゃって構わない。構わないからこういう記法(たしかLagrangeの発明とか)が便利だとも言えますね。

 で、変分の次元について:変数 y[k] = y[k](x) (k=1,2,....,n) を持つ汎関数
J(y[1],y[2],.....,y[n]) = integral {x∈A} F(x, y[1],y[2],.....,y[n], y'[1],y'[2],.....,y'[n]) dx
の変分は、y[k]の増分をΔy[k]、y'[k]の増分をΔy'[k]とするとき
δJ = integral {x∈A} Σ{k=1,...,n} [(∂F/∂y[k])Δy[k]+(∂F/∂y'[k])Δy'[k]] dx
ですから、
δJの次元= Fの次元÷yの次元×yの次元×xの次元= Fの次元×xの次元=Jの次元

 んで、汎関数J自体の次元。
 何を極値化(最小化・最大化)したいか、その量Jの次元ですから、一般に問題毎に違います。時間を最小にする、エネルギーを最小にする、確率を最大にする、距離を最小にする、コストを最小にする、などなど。それに、式を無次元化しちゃった場合は「(何かに対する)比を極値化する」ということで、もとより次元はないです。普通、変分問題を立てるときは「何を極値化したいか」を意識していると思うんですが、もしJの式だけ与えられたような場合には、式を分解して次元を調べるしかないですね。
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この回答へのお礼

そうです、次元解析の話なんですが、

>δJの次元= Fの次元÷yの次元×yの次元×xの次元= Fの次元×xの次元=Jの
>次元
>んで、汎関数J自体の次元。
>もしJの式だけ与えられたような場合には、式を分解して次元を調べるしかないで>すね。

目からうろこが落ちました。ありがとうございました。

お礼日時:2001/02/13 18:14

stomachman さんの回答がありましたので,ちょっと補足します.



一般的には stomachman さんの書かれたとおりですが,
質問内容から,Lは Lagrangian で Euler-Lagrange の運動方程式
(d/dt)(∂L/∂q') - ∂L/∂q = 0
を導く話だと思われますので,先の私の回答はその線で書きました.

それから,dy や dx や∫を使う記法(すばらしい記法です!)は Leibniz の発明です.
∂を最初に使ったのは誰かな~,私は知りません.
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Santa123 さんが書かれている式 δI=∫δL(q,q')dt と


通常 L = T - V (T は運動エネルギー,V はポテンシャルエネルギー)
であることからすぐにわかります.
すなわち,L はエネルギーの次元,それを t で積分しているのですから
作用の I は [エネルギー・時間] の次元をもっています.
次元解析でやるように,長さL,質量M,時間T,であらわせば
作用の次元は [M L^2 T^(-1)] で,
SI 単位は,[J s] (ジュール・秒) = [kg・m^2・s^(-1)] です.
この次元は,まさに作用の次元と呼ばれています.

プランク定数 h は作用の次元をもっています.
(だから,作用量子と呼ばれる).
その他,角運動量も作用と同じ次元をもっています.
量子力学では,角運動量が h/2π 単位に量子化される,などといいますね.
あと,解析力学では,周期運動について
integral[一周期] p dq
(p,q は一般化運動量と一般化座標)もよく出てきますが,
これも作用の次元を持っています.
この積分が量子化とかなんとかいうあたりが,量子力学との接続になります.
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この回答へのお礼

ご丁重な回答ありがとうございました。
[作用]の次元をあらためて思い出しました。
ところで質問の意図は、L=T-Vという関係はEuler-Lagrangeの方程式を解い
て初めてL=T-Vという関係と同等(エネルギーの次元)になっている事がわ
かりますが(電磁場中の電子の動きなんかは直感的にLagrangianを見つけること
が難しい)、それがまだ分からない段階でどうして作用積分というのだろうという
疑問にありました。
それにしても変分原理から運動方程式を導くという発想に凄いものを感じますが、
概念的にはこれでいいのかなぁと自分で納得したりしています(笑)。つまり、
t0、t1の両端固定でI=∫dtL(q,q')の極値(δI=0)というのは、簡単に
δE=δI=(t1-t0)×ΔEとして、δE→0の時ΔE→0つまりエネルギー極値と
なる運動が現実の運動を表す。。。

お礼日時:2001/02/13 18:55

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Q類語辞典アプリについて

最近出先で類語辞典を使うことが増えました。
今までは講談社の類語辞典とオンラインのシソーラスを使っていましたが、講談社の類語辞典は語彙少なく、通信環境必須でした。
しかし必ずしも作業する環境が通信環境がいい状況でなかったりするのでオフラインで使える類語辞典を探しています。

角川類語新辞典と三省堂類語新辞典のどちらかの購入を考えています。
この2つのアプリはオフラインで使用できますか?
アプリ評価のサイトを色々探ったのですがオフラインについて記述が見当たりませんでした。
価格が価格だけに試しに買ってみるのはちょっとためらってしまいます(書籍の類語辞典買うよりは安いんですが…)

それと角川の方は2200円のものと1500円のものがあるので、どちらを使っているかも書いていただけると助かります。

ちなみに角川は大辞林との連携が売りですが、私はあまりそこは用途として必要としていません。

Aベストアンサー

角川の2種類と三省堂のものを持っています。
以下に挙げる辞書はすべてオフライン利用が可能です。
角川の1500円のほうは、説明文の単語をキーに再検索しようとすると、それを再入力しなければならず、UI的にダメです。

角川2500円のものと三省堂では個人的には三省堂のものが好みです。
理由は幾つかあって、角川2500円のほうで見つからなかった単語が幾つかあったこと(例えば「順手」)、三省堂のほうでは対義語も表示されること、三省堂のは他の辞書との連携が特定の辞書に限定されていないことなどです。

それから私がよく使う類語辞書を紹介します。
ネット上に存在するデータを使いローカルに持っているアプリですが、Word ouenというところが出している類義語辞書です。
この辞書では単語のみが表示されて用例や意味は表示されませんが、関連語というカテゴリがあって、類語からは外れる近い単語を表示してくれます。
また類語と共に英和・和英ができ、英語の類語と関連語も捜せるのが魅力的です。
意味や用例については外部辞書連携が利用できます。
広告は入りますが無料版もあります。

角川の2種類と三省堂のものを持っています。
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Q∫Kπ~K+1π|sint|dt=|∫Kπ~K+1πsintdt|

∫Kπ~K+1π|sint|dt=|∫Kπ~K+1πsintdt|
は、なぜいえるのですか?

解説では、Kπ~K+1πにおいてsintの符号が一致するため・・・
と書いてあるのですが、いまいちよくわかりません。

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Kが奇数のとき、sintをこの範囲で積分すると、答えは―2になります。その絶対値は2となります。|sint|をせきぶんすると、2になります。
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sintをπ/2~3π/2の範囲で積分します。そうすると答えはゼロになります。|sint|を同じ範囲で積分すると、答えは2になります。

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Q文書作成ソフトと連動した類語辞典は?

文書作成(日本語)ソフトと連動した類語辞典(日本語)を探しています。

もしくは、文書作成ソフトが類語辞典の内容を取り込めるようなものがいいです。

たとえば、メモ帳でもWordでもよろしいが、「青空」という語句を別の言葉に
置き換えたいなと思ったときに、「青空」の文字をマウスで選択して、特定の
キーを押すと、類語の候補がズラッと表示されるようなものを探しています。

類語辞典を別に起動して、「青空」と打ち込むようなものは避けたいです。
当たり前のように存在すると思っていたら、見つからないので驚いています。

言語は日本語で、文書作成ソフトと連動しているもの(連動できるもの)を
探しているのですが、ご存知の方はおりませんでしょうか?

よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

> たとえば、メモ帳でもWordでもよろしいが、「青空」という語句を別の言葉に
> 置き換えたいなと思ったときに、「青空」の文字をマウスで選択して、特定の
> キーを押すと、類語の候補がズラッと表示されるようなものを探しています。

ATOK用の類語辞書はあるようです。
下記URLのページをご参照下さい。

「角川類語新辞典 for ATOKの使い方」
http://support.justsystems.com/faq/1032/app/servlet/qadoc?QID=025546

「角川類語新辞典 for ATOK(NW2)」
http://www.amazon.co.jp/%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%82%B9%E3%83%88%E3%82%B7%E3%82%B9%E3%83%86%E3%83%A0-%E8%A7%92%E5%B7%9D%E9%A1%9E%E8%AA%9E%E6%96%B0%E8%BE%9E%E5%85%B8-for-ATOK-NW2/dp/B000LV61RY

QEulerの公式を導きたいのですが…。

Eulerの公式:U=TS-pV+μNを求めようと思っています。

(1) dU=TdS-pdV+μdNから、内部エネルギーUはS、V、Nを独立変数とする関数である。

(2) U、S、V、Nは示量変数であるから、系のスケールをλ倍に変化させた時λU=U(λS,λV,λN)が成立する。

 上の(1)・(2)を用いるとするのですが…。誠に恐縮ですが、どなたか御回答を御願い致します。

Aベストアンサー

まず U=TS-pV+μN は Eulerの公式ではありませんのでご注意を。

恐らくこれはEulerの公式を用いてUを求めなさいという問題でしょう。具体的には、m次同次 φ(λx_1,λx_2,...)=λ^mφ(x_1,x_2,..)なら、Σx_i (∂φ/∂x_i)=mφが成り立つことを利用するということです。

まず、(2)からλU=U(λS,λV,λN)が成立するので、m=1とし、Σx_i (∂φ/∂x_i)=mφに当てはめると

 U=S(∂U/∂S)_{VN}+V(∂U/∂V)_{SN}+N(∂U/∂N)_{SV}

が成り立ちます。(1)から、(∂U/∂S)_{VN}=T, (∂U/∂V)_{SN}=-p, (∂U/∂N)_{SV}=μですので、これらを上の式に代入すると、

 U=TS-pV+μN

が得られます。

Q英英辞典や類語辞典の使い方

最近、英語の勉強をやり直そうと思い立ち
英語の本を読んだり、英語で日記を書いたり
しています。

それに伴い電子辞書を購入しました。
英和・和英はもちろん英英・類語辞典も
入っています。

しかし、今までの勉強で英英・類語を
使った経験がなく、どのように活用したら
いいものか良くわかりません。

英英類語は勉強に役立つというような
コメントを見たことがあるのですが
どのように使っているのでしょうか?

使っている方で、こんな風に勉強してます、とか
こんな時に使うと便利です、とかアドバイスなど
あったらお願いします。

Aベストアンサー

私は英英辞典はよく使いますが、類語辞典はあまり使いません。

英英辞典を使うなら最初は知らない単語ではなく、知っている単語を調べてください。英英辞典だと英単語を日本語に置き換えているだけですが、英英辞典は
語義の説明を読むこと自体が英語の勉強にもなり、英語を英語で理解できるようになります。

参考URL:http://plus.hangame.co.jp/browse/db_detail.php?dir_id=110301&docid=40030

Qこの問題を解いていただけないでしょうか? 解説もしていただけるとありがたいです! 問題が多いですが、

この問題を解いていただけないでしょうか?
解説もしていただけるとありがたいです!
問題が多いですが、回答のほど宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

はっきり言って、画像が不鮮明で問題文が読めません(特に添え字)。
こちらは何とか読めたので、問1には回答しましたが。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9600244.html

回転運動の基本ですから、きちんと復習した方が良いですよ。

問2は、勝手に問題を想定して書きます。
問題の中身が違うようであれば、「補足」にでも正しい問題を書いてください。

(1) 角速度ω2を L, g, θ1 を用いて表せ。

台を離れるときには
  R = mg - m*ω2^2*L*cos(θ1) = 0
なので、
  ω2^2*L*cos(θ1) = g
より
  ω2 = √[g/L*cos(θ1)]

(2) 糸が切れるときの θ2 はいくらか。

 問題文の「問1」直前の「ただし」書きに「静止状態で質量 2m [kg] 以上のおもりをつるしたときに糸が切れる」とあるので、限界張力は T=2mg ということになります。

糸が切れるときの角速度が ω3 なので、このときの張力は
  T = m*ω3^2*L   ①
張力と重力の関係は
  T*cos(θ2) = mg   ②
T=2mg の条件から
  m*ω3^2*L = 2mg より ω3^2*L = 2g  ③
  2mg*cos(θ2) = mg より cos(θ2) = 1/2
    よって θ2 = 60°   ④

(3) 角速度ω3を L, g を用いて表せ。

 ③より
  ω3^2 = 2g/L
  ω3 = √(2g/L)   ⑤

(4) 糸が切れた後おもりはどの向きに飛び出すか。

  水平方向で、回転運動の接線方向

(5) 糸が切れた瞬間のおもりの速さ v [m/s] と角速度 ω3 の関係を式で示せ。
  
  水平方向:vx = L*sin(60°)*ω3 = (√3 /2) L*ω3   ⑥
  鉛直方向:vy = 0

(6) 糸が切れる直前のおもりの加速度の大きさ a1 [m/s^2] と、糸が切れた直後のおもりの加速糸が切れる直前の度の大きさ a2 [m/s^2] はそれぞれいくらか。m, L, g のうち必要な記号を用いて表せ。

 糸が切れる直前の向心力:F = m*L*sin(60°)*ω3^2 = (√3 )mg より
   a1 = (√3 ) g

 糸が切れた直後重力加速度のみが働くので、
   a2 = -g

(7) 糸が切れた瞬間のおもりの位置は、台から高さ h [m] であった。その位置とおもりが台上に落下した地点の水平距離を x [m] とする。x を h, L, g を用いて表せ。

 鉛直方向には、初速度ゼロで、加速度 a2 が働くので、落下高さは
   y = -(1/2)*g*t^2
となる。これが y= -h となるのは
   t1 = √(2h/g)
のときである。この間に、水平方向には⑥の等速運動するので、⑤を使って
  x = vx * t1 = (√3 /2) L*√(2g/L)*√(2h/g)
   = (√3 )√(hL)

はっきり言って、画像が不鮮明で問題文が読めません(特に添え字)。
こちらは何とか読めたので、問1には回答しましたが。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9600244.html

回転運動の基本ですから、きちんと復習した方が良いですよ。

問2は、勝手に問題を想定して書きます。
問題の中身が違うようであれば、「補足」にでも正しい問題を書いてください。

(1) 角速度ω2を L, g, θ1 を用いて表せ。

台を離れるときには
  R = mg - m*ω2^2*L*cos(θ1) = 0
なので、
  ω2^2*L*cos(θ1) = g
より
  ω2 = √[g/L*cos(...続きを読む

Q角川の「類語国語辞典」を素早く引きたい。

角川の『類語国語辞典』(http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4040120000/qid=1141472311/sr=8-2/ref=sr_8_xs_ap_i2_xgl14/249-1334781-2808320)を気に入って使っているのですが、文章を書いている途中に気になった言葉があり調べてもピッタリした言葉を探し出すまでに時間がかかってしまい、結局何を書こうとしていたのか忘れてしまうことがあります。
自分なりに見出しに付箋をつけたり、目次に色分けしたりしてみたのですが、まだまだ引くのが遅いです。。

そこで質問です。

辞書を良く引かれる方。
早く辞書を引くコツ(?)みたいなのはありますか?

主にPCで書いている為、CD-ROM版の類語辞典も考えたことがあるのですが、やっぱり「角川書店」の類語辞典じゃなきゃダメなんです・・・。

ここで調べたら角川の『類語辞典』が入っている電子辞書を見つけたのですが、調べたところ角川の『類語'新'事典』で私の気に入っているほうではありませんでした。。

角川の「類語国語辞典」が収録されている電子辞書、またはソフト等ありましたらどうぞ教えてくださいm(__)m

よろしくお願いします。

角川の『類語国語辞典』(http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4040120000/qid=1141472311/sr=8-2/ref=sr_8_xs_ap_i2_xgl14/249-1334781-2808320)を気に入って使っているのですが、文章を書いている途中に気になった言葉があり調べてもピッタリした言葉を探し出すまでに時間がかかってしまい、結局何を書こうとしていたのか忘れてしまうことがあります。
自分なりに見出しに付箋をつけたり、目次に色分けしたりしてみたのですが、まだまだ引くのが遅いです。。

そこで質問です。

辞書を良く引かれる...続きを読む

Aベストアンサー

んー? あれは牽きやすい辞書だと思いますがね。もう一冊べつのを使ってご覧になれば同感していただけるかもしれません。今はもっぱら『日本語大シソーラス』に当たりますが、これ引きにくい。総索引じゃないから空振りが多くて。

あれ? 「目次」ですか? それはなんのことだろう。色分けってことは、語彙分類体系表のことですか? 見出しと併せてお使いになるようなので、これか! もしそうなら、そりゃ信じられないような使い方ですな。

しかしほんとかなあ。私はそんな引き方をしたことは一度としてありませんが。必ず索引で引きます。これは総索引なのでまず空振りはしません。いま書いている文章にぴったり嵌まるわけじゃないけど近似している語で引いて、その語の近辺にを眺め渡すわけです。って当たり前のことくだくだ説明してるようで戸惑います。いや、念のためですからどうぞお叱りなきよう願います。

お詫びがわりに私が見つけた索引の誤りを二三あげておきます。「崇敬454」は「崇敬474」、「長老441」は「長老551」、「取り込む340b」は「取り込む230b」がそれぞれ正しいはずです。手元のは平成五年の七版です。

んー? あれは牽きやすい辞書だと思いますがね。もう一冊べつのを使ってご覧になれば同感していただけるかもしれません。今はもっぱら『日本語大シソーラス』に当たりますが、これ引きにくい。総索引じゃないから空振りが多くて。

あれ? 「目次」ですか? それはなんのことだろう。色分けってことは、語彙分類体系表のことですか? 見出しと併せてお使いになるようなので、これか! もしそうなら、そりゃ信じられないような使い方ですな。

しかしほんとかなあ。私はそんな引き方をしたことは一度とし...続きを読む

Qこの問題解いていただけないでしょうか? 解説もしていただけるとありがたいです! 問題が多いですが、回

この問題解いていただけないでしょうか?
解説もしていただけるとありがたいです!
問題が多いですが、回答のほど宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

これまた、画像が荒くて文章も図も読めません。
鮮明な画像にするか、文章をテキストで入力してください。

Qやはり類語辞典は……

オンライン上に無料の類語辞典はないだろうか?と探しているのですが見つかりません。やはり無料で見つけようとしているのが間違いでしょうか。
言語工学研究所のがとても良さそうに見えるんですけど、もうサービスをやめてしまったのですよね?(T_T)。
もし万が一「ここに類語辞典があるよ!」ということをご存知の方は教えていただけませんか?

Aベストアンサー

英語のThesaurusだったら...

参考URL:http://www.m-w.com/

Qこの問題を解いていただけないでしょうか? 解説もしていただけるとありがたいです! 問題が多いですが、

この問題を解いていただけないでしょうか? 解説もしていただけるとありがたいです!
問題が多いですが、回答のほど宜しくお願い致します。

問1、地上での重力加速度の大きさgをR、M、Gを用いて表せ。

問2、物体の速度が地球の中心Oから2Rの距離にある点Aで0になるためには、初速度の大きさvo[m/s]をどれだけにすれば良いか。g,Rを用いて表せ。

問3、物体の速度が点Aで0になった瞬間、物体に大きさv[m/s]でOAに垂直な方向に速度を与える。「物体が地球の中心Oを中心とする等速円運動をするためには、vをどれだけにすれば良いか。g,Rを用いて表せ。」

点Aで物体に与える速さvが問3で求めた値からずれると、物体の軌道は、地球の中心を1つの焦点とする楕円となる。楕円軌道はvが大きくなるほど大きくなり、vがある値以上になると、物体は無限遠方に飛び去ってしまう。


問4、物体がABを長軸とする楕円軌道を描くためには、vをどれだけ大きくすれば良いか。以下の手順で求めよ。ただし、点Bの地球の中心からの距離は6Rである。

(1) 点Aにおける面積速度と、点Bにおける面積速度が等しいことから、点Bにおける物体の速さVをvを用いて表せ。

(2) 速さvをg,Rを用いて表せ。

問5、 物体が地球に衝突もせず、かつ無限遠方に飛び去ることもなく楕円軌道を描き続けるためには、速さvはどのような範囲にならなければならないか。不等式で表せ。

この問題を解いていただけないでしょうか? 解説もしていただけるとありがたいです!
問題が多いですが、回答のほど宜しくお願い致します。

問1、地上での重力加速度の大きさgをR、M、Gを用いて表せ。

問2、物体の速度が地球の中心Oから2Rの距離にある点Aで0になるためには、初速度の大きさvo[m/s]をどれだけにすれば良いか。g,Rを用いて表せ。

問3、物体の速度が点Aで0になった瞬間、物体に大きさv[m/s]でOAに垂直な方向に速度を与える。「物体が地球の中心Oを中心とする等速円運動をするためには、vをどれだ...続きを読む

Aベストアンサー

全くわからないのですか? 少しは分かる?
答だけ書くのは無意味なので、どこまで分かって、どこが分からないのかを書いてもらえると、的を絞って説明できるのですが。
一通り書いてみます。計算間違いなどがあるかも。
分からないところがあれば、「補足」にでも書いてください。

問1:万有引力の法則は
 F = GMm/r²

地球の重力は、
 M:地球の質量
 m:地上の物体の質量
 r:地球の半径
のときの万有引力です。従って、質量mの物体に働く重力 F=mg は
 mg = GMm/R²
なので、
 g = GM/R²
ということです。

問2:物体に働く力は、地球の中心向きの「重力」だけですから、上向きを正とした運動方程式は
 -mg = ma
より
 a = -g
上向きの速度は、初速度が v0 なので
 v = v0 - gt
最高点では速度がゼロになるので、最高点に到達する時間 t1 は
 v = v0 - gt1 = 0
より
 t1 = v0/g  ①
t 秒後の高さは、地表面をゼロとして
 x = v0*t - (1/2)gt²
なので、①の t=t1 のときの高さ x1 は
 x1 = v0*t1 - (1/2)g(t1)² = v0²/g - (1/2)v0²/g = (1/2)v0²/g
これが 2R なので
 (1/2)v0²/g = R
よって
 v0² = 2gR
 v0 = √(2gR)

問3:地球を周回する円運動にするための速度ということですね。
 角速度 ω の円運動では、遠心力は mrω² ですから、半径 2R の円運動では 2mRω² です。これが重力 mg と釣り合えば半径一定の円運動になります。(これを「等速円運動」と呼ぶのかな?)
 従って
  mg = 2mRω²     ②
より
  ω = √(g/2R)
この角速度での、半径 2R の周速度は
  2Rω = √(2gR)
なので、
  v = √(2gR)
 
問4(1) 「面積速度」とは、(周速度)×(半径)× sinθ (θ は半径と周速度方向のなす角度)です。点A, B では θ=90° なので sinθ = 1 になります。従って
 点Aでの面積速度:v * 2R
 点Bでの面積速度:V * 6R
この2つが等しいので
  V = (1/3)v

↓ 参考「ケプラーの第2法則」
http://www.wakariyasui.sakura.ne.jp/p/mech/bannyuu/kepura-.html

(2) これは「速さ V をg,Rを用いて表せ」ではないでしょうか。v だったら「問3」で求めていますから。
  V = (1/3)v = (1/3)√(2gR)

問5:円運動をせずに地球に落下するには、上記「問3」の②式が
  mg > 2mRω²
であればよい。このときには
  v < √(2gR)     ③

無限遠方に飛び去るには、地球中心から 2R の位置におけるポテンシャルエネルギーよりも大きい運動エネルギーを与えればよい。無限遠を基準にしたときの、地球中心から 2R の位置におけるポテンシャルエネルギーは
  U = -∫[∞~2R]( GMm/r² )dr = [ GMm/r ][∞~2R] = -GMm/2R
なので、無限遠方に飛び去るための運動エネルギーは
  (1/2)mv² > GMm/2R
  v² > GM/R
  v > √(GM/R)    ④

よって、地球に落下もせず、無限遠に飛び去ることもない速度は、③④ではない範囲
  √(2gR) ≦ v ≦ √(GM/R)
ということになる。

全くわからないのですか? 少しは分かる?
答だけ書くのは無意味なので、どこまで分かって、どこが分からないのかを書いてもらえると、的を絞って説明できるのですが。
一通り書いてみます。計算間違いなどがあるかも。
分からないところがあれば、「補足」にでも書いてください。

問1:万有引力の法則は
 F = GMm/r²

地球の重力は、
 M:地球の質量
 m:地上の物体の質量
 r:地球の半径
のときの万有引力です。従って、質量mの物体に働く重力 F=mg は
 mg = GMm/R²
なので、
 g = GM/R²
ということです...続きを読む


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