常用対数の問題で

log[10]2＝0.3010、log[10]3＝0.4771とする

問題
(2/3)^20を小数で表すと小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。また、その数字はいくつか。

(私の解答)
log[10](2/3)^20＝20log[10](2/3)＝20(log[10]2-log[10]3)
＝20(-0.1761)
＝-3.522

-4＜log[10](2/3)^20＜-3
10^-4＜(2/3)^20＜10^-3

よって小数第4位
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ここまではなんとか自力でやりましたが現れる数字の解き方がわかりません。
数学はとても苦手なので詳しく説明もお願いしますm(_ _)m

No.3 回答者： mistery200 回答日時： 2008/06/10 23:31

１０＾（－３．５２２）＝１０＾（－４）×１０＾０．４７８

と分解します。
log[10]3＝0.4771より
１０＾０．４７７１＝３です
log[10]2＝0.3010より
１０＾０．３０１０＝２
１０＾０．６０２０＝４です
よって、
３＜１０＾０．４７８＜４です。

No.2 回答者： proto 回答日時： 2008/06/10 12:11

すべて常用対数を使い、底は省略させてもらいます。

log(0.0003) = log(10^(-4)*3) = -4+0.4771 = -3.5229
log(0.0004) = log(10^(-4)*2^2) = -4+2*0.3010 = -3.398

よって
　　log(0.0003) < log((2/3)^20) < log(0.0004)
あとは前半と同じ要領、わかりますよね？

No.1 回答者： noname#101087 回答日時： 2008/06/10 12:04

>(log[10]2＝0.3010、log[10]3＝0.4771とする

>
>(2/3)^20を小数で表すと小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。また、その数字はいくつか。
>
>(私の解答)
>log[10](2/3)^20＝20log[10](2/3)＝20(log[10]2-log[10]3)＝20(-0.1761)＝-3.522
>-4＜log[10](2/3)^20＜-3
>10^-4＜(2/3)^20＜10^-3
>よって小数第4位

あっているようです。
ふつうは、
　　log[10](2/3)^20＝-3.522＝-4 + 0.473
として、
　　0.473 の真数 * 10^(-4)
と勘定するようです。